Правило лопиталя с подробным решением. Правило Лопиталя: теория и примеры решений
Решение пределов функции онлайн . Найти предельное значение функции либо функциональной последовательности в точке, вычислить предельное значение функции на бесконечности. определить сходимость числового ряда и многое другое можно выполнить благодаря нашему онлайн сервису - . Мы позволяем находить лимиты функций онлайн быстро и безошибочно. Вы сами вводите переменную функции и предел, к которому она стремится, анаш сервис проводит все вычисления за вас, выдавая точный и простой ответ. Причем для нахождения предела онлайн вы можете вводить как числовые ряды, так и аналитические функции, содержащие константы в буквенном выражении. В этом случае найденный предел функции будет содержать эти константы как постоянные аргументы в выражении. Нашим сервисом решаются любые сложные задачи по нахождению пределов онлайн , достаточно указать функцию и точку в которой необходимо вычислить предельное значение функции . Вычисляя пределы онлайн , можно пользоваться различными методами и правилами их решения, при этом сверяя полученный результат с решением пределов онлайн на www.сайт, что приведет с успешному выполнению задачи - вы избежите собственных ошибок и описок. Либо вы полностью можете довериться нам и использовать наш результат в своей работе, не затрачивая лишних усилий и времени на самостоятельные вычисления предела функции. Мы допускаем ввод таких предельных значений, как бесконечность. Необходимо ввести общий член числовой последовательности и www.сайт вычислит значение предела онлайн на плюс или минус бесконечности.
Одним из основных понятий математического анализа является лимит функции и предел последовательности в точке и на бесконечности, важно уметь правильно решать пределы . С нашим сервисом это не составит никакого труда. Производится решение пределов онлайн в течение нескольких секунд, ответ точный и полный. Изучение математического анализа начинается с предельного перехода , пределы используются практически во всех разделах высшей математики, поэтому полезно иметь под рукой сервер для решения лимитов онлайн , каковым является matematikam.ru.
Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя . Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.
Правило Лопиталя: история и определение
На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли . Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли , а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.
Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.
Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.
Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:
Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.
Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:
Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0 . Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:
Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.
Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:
Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0 :
Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0 :
Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:
Теперь перейдем к примерам.
Пример 1
Найти предел по правилу Лопиталя:
Пример 2
Вычислить с использованием правила Лопиталя:
Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а , то правило Лопиталя можно применять несколько раз.
Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:
Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам . Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.
Инструкция
Непосредственное вычисление пределов связано, в первую очередь, с пределами рациональных Qm(x)/Rn(x), где Q и R многочлены. Если вычисляется предел при х →a (a – число), то может возникнуть неопределенность, например . Для ее устранения поделите числитель и знаменатель на (х-а). Операцию повторяйте до тех пор, пока неопределенность не пропадет. Деление многочленов осуществляется практически так же, как и деление чисел. Оно основано на том, что деление и умножение – обратные операции. Пример приведен на рис. 1.
Применение первого замечательного предела. Формула для первого замечательного предела приведена на рис. 2а. Для его применения приведите выражение вашего примера к соответствующему виду. Это всегда можно сделать чисто алгебраически или заменой переменной. Главное - не забывайте, что если синус от kx, то и знаменатель тоже kx. Пример рассмотрен на рис. 2e.Кроме того, если учесть, что tgx=sinx/cosx, cos0=1, то, как следствие, появляется (см. рис. 2b). arcsin(sinx)=x и arctg(tgx)=x. Поэтому имеются еще два следствия (рис 2с. и 2d). Возник еще достаточно широкий набор способов .
Применение второго замечательно предела (см. рис. 3а)Пределы такого типа используются для устранения неопределенностей типа . Для решения соответствующих задач просто преобразуйте условие до структуры, соответствующей виду предела. Помните, что при возведении в степень выражения, уже находящегося в какой-либо степени, их показатели перемножаются. Соответствующий пример приведен на рис. 2е.Примените подстановку α=1/х и получите следствие из второго замечательного предела (рис. 2b). Прологарифмировав по основанию а обе части этого следствия, придете ко второму следствию, в том числе и при а=е (см. рис. 2с). Сделаете замену а^x-1=y. Тогда x=log(a)(1+y). При стремлении х к нулю, у также стремится к нулю. Поэтому возникает и третье следствие (см. рис. 2d).
Применение эквивалентных бесконечно малых.Бесконечно малые функции эквивалентны при х →а, если предел их отношения α(х)/γ(х) равен единице. При вычислении пределов с помощью таких бесконечно малых просто запишите γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) – это бесконечно малая более высокого порядка малости, чем α(x). Для нее lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Для выяснения эквивалентности используйте те же замечательные пределы. Метод позволяет существенно упростить процесс нахождения пределов, сделав его более прозрачным.
В следующем: отношения функций f(x) и g(x), при х стремящемуся к точке а, равен соответствующему пределу отношения производных этих функций. При этом значение g(a) не равно нулю, как и значение ее производной в этой точке (g’(a)). Кроме того предел g’(a) . Аналогичное действует и при x, стремящемуся к бесконечности. Таким образом можно записать (см. рис.1):
Правило Лопиталя позволяет устранять неопределенности типа ноль на ноль и бесконечность делить на бесконечность (, [∞/∞] Если на уровне первых производных вопрос еще не разрешен, следует использовать производные второго и даже большего порядка.
Пример 1. Найти предел при х стремящемуся к 0 отношения sin^2(3x)/tg(2x)^2.
Здесь f(x)=sin^2(3x), g(x)=tg(2x)^2. f’(x)=2 3sin3xcos3x=6sin3xcos3x, g’(x)=4x/cos^2(2x)^2. lim(f’(x)/g’(x))=lim(6sin3x/4x), так как cos(0)=1. (6sin3x)’=18cos3x, (4x)’=4. Итак (см. рис. 2):
Пример 2. Найти предел на бесконечности рациональной дроби (2x^3+3x^2+1)/(x^3+4x^2+5x+7). Ищем отношение первых производных. Это (6x^2+6x)/(3x^2+8x+5). Для вторых производных (12x+6)/(6x+8). Для третьих 12/6=2 (см. рис.3).
Остальные неопределенности, на первый взгляд, не подлежат раскрытию с помощью правила Лопиталя, т.к. не содержат отношения функций. Однако некоторые предельно простые алгебраические преобразования могут помочь устранить их. Прежде всего можно ноль умножить на бесконечность . Любую функцию q(x) → 0 при х → а можно переписать в виде
q(x)=1/(1/q(x)) и здесь (1/q(x))→∞.
Пример 3.
Найти предел (см. рис.4)
В данном случае есть неопределенность ноль умножить на бесконечность. Преобразовав это выражение получите: xlnx=lnx/(1/x), то есть соотношение вида [∞-∞]. Применив правило Лопиталя, получите отношение производных (1/x)/(-1/x2)=-х. Так как х стремится к нулю, решение предела будет ответ: 0.
Неопределенность вида [∞-∞], раскрывается, если имеется в виду разность каких-либо дробей. Приведя эту разность к общему знаменателю, получите некоторое отношение функций.
Неопределенности типа 0^∞, 1^∞, ∞^0 возникают при вычислении пределов функций типа p(x)^q(x). В этом случае применяют предварительное дифференцирование. Тогда логарифм искомого предела А примет вид произведения, возможно, что с готовым знаменателем. Если нет, то можно использовать методику примера 3. Главное не забыть записать окончательный ответ в виде е^А (см. рис.5).
Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.
Теорема (правило Лопиталя ). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a , за исключением, быть может, самой точки a , и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x →а, причем
(1) |
Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.
Замечание . Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.
Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+ cosx)/ 1= 1+ cos x при x →∞ не стремится ни к какому пределу.
Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.
Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.
Для раскрытия неопределенностей 1 ∞ , 1 0 , ∞ 0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
Примеры.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x 0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x) , значения которого в окрестности точки x 0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x 0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x) .
Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = P n (x) . Будем искать его в виде
(1) |
В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .
Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:
Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена P n (x ) исходя из условия равенства производных.
Введем обозначение n ! = 1·2·3…n , 0! = 1, 1! = 1.
Подставим в (1) x = x 0 и найдем , но с другой стороны . Поэтому
Учитывая третье условие и то, что
Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:
Обозначим и назовем эту разность n -ым остаточным членом функции f(x) в точке x 0 . Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.
Оказывается, что если x 0 Î (a , b ) при всех x Î (a , b ) существует производная f (n+1) (x ), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x 0 и x такая, что остаток можно представить в виде:
Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.
Где x Î (x 0 , x ) называется формулой Тейлора .
Если в этой формуле положить x 0 = 0, то она запишется в виде
где x Î ( x 0 , x ). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена .
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
- Рассмотрим функцию f(x)=e x
. Представим ее по формуле
МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем
производные до (n
+1) порядка:
Таким образом, получаем
Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение e x .
Например, при x =1, ограничиваясь n =8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e :
причем остаток
Отметим, что для любого x Î R остаточный член
Действительно, так как ξ Î (0; x ), то величина e ξ ограничена при фиксированном x . При x > 0 e ξ < e x . Докажем, что при фиксированном x
Имеем
Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x |<N .
Обозначим Заметив, что 0
n>N можем написать
Но , не зависящая от n , а так как q<1. Поэтому Следовательно,
Таким образом, при любом x , взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить e x с любой степенью точности.
- Выпишем разложение по
формуле МакЛорена для функции f(x)
=sin x
.
Найдем последовательные производные от функции f(x) =sin x .
Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:
Несложно заметить, что преобразовав n -й член ряда, получим
Так как , то аналогично разложению e x можно показать, что для всех x .
Пример . Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n =3 будем иметь:
Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:
Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.
- f(x) = cos x . Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ
Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.
Функция y=f(x) , определенная на некотором отрезке [a, b ] (интервале (a, b )), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b ] соответствует большее значение функции, то есть если x 1 < x 2 , то f(x 1 ) < f(x 2 ) .
Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b ], если меньшему значению аргумента x из [a, b ]соответствует большее значение функции, то есть если x 1 < x 2 , то f(x 1 ) > f(x 2 ) .
Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.
Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b ], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.
Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.
(-∞, a ), (c , +∞) – убывает;
(a, b ) – постоянная;
(b, c ) – возрастает.
Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.
Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)