Системы логических уравнений в задачах егэ по информатике. Логика

Решение систем логических уравнений методом замены переменных

Метод замены переменных применяется, если некоторые переменные входят в состав уравнений только в виде конкретного выражения, и никак иначе. Тогда это выражение можно обозначить новой переменной.

Пример 1.

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 → х2) → (х3→ х4) = 1

(х3 → х4) → (х5 → х6) = 1

(х5 → х6) → (х7 → х8) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение:

(x1 → х2) = y1; (х3 → х4) = y2; (х5 → х6) = y3; (х7 → х8) = y4.

Тогда можно записать систему в виде одного уравнения:

(y1 → y2) ∧ (y2 → y3) ∧ (y3 → y4) = 1. Конъюнкция равна 1 (истинна), когда каждый операнд принимает значение 1. Т.е. каждая из импликаций должна быть истинна, а это выполняется при всех значениях, кроме (1 → 0). Т.е. в таблице значений переменных y1, y2, y3, y4 единица не должна стоять левее нуля:

Т.е. условия выполняются для 5 наборов y1-y4.

Т.к. y1 = x1 → x2, то значение y1 = 0 достигается на единственном наборе x1, x2: (1, 0), а значение y1 = 1 – на трех наборах x1, x2: (0,0) , (0,1), (1,1). Аналогично для y2, y3, y4.

Поскольку каждый набор (x1,x2) для переменной y1 сочетается с каждым набором (x3,x4) для переменной y2 и т.д., то количества наборов переменных x перемножаются:

				Кол-во наборов на x1…x8

Сложим количество наборов: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.

Ответ: 121

Пример 2.

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)

(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)

(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение:

Сделаем замену переменных:

(x1 ≡ y1) = z1, (x2 ≡ y2) = z2,…. ,(x9 ≡ y9) = z9

Систему можно записать в виде одного уравнения:

(¬ z1 ≡ z2) ∧ (¬ z2 ≡ z3) ∧ …..∧ (¬ z8 ≡ z9)

Эквивалентность истинна, только если оба операнда равны. Решениями этого уравнения будут два набора:

z1	z2	z3	z4	z5	z6	z7	z8	z9
0	1	0	1	0	1	0	1	0
1	0	1	0	1	0	1	0	1

Т.к. zi = (xi ≡ yi), то значению zi = 0 соответствуют два набора (xi,yi): (0,1) и (1,0), а значению zi = 1 - два набора (xi,yi): (0,0) и (1,1).

Тогда первому набору z1, z2,…, z9 соответствует 2 9 наборов (x1,y1), (x2,y2),…, (x9,y9).

Столько же соответствует второму набору z1, z2,…, z9. Тогда всего 2 9 +2 9 = 1024 наборов.

Ответ: 1024

Решение систем логических уравнений методом визуального определения рекурсии.

Этот метод применяется, если система уравнений достаточно проста и порядок увеличения количества наборов при добавлении переменных очевиден.

Пример 3.

Сколько различных решений имеет система уравнений

¬x9 ∨ x10 = 1,

где x1, x2, … x10 - логические переменные?

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, … x10, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение:

Решим первое уравнение. Дизъюнкция равна 1, если хотя бы один из ее операндов равен 1. Т.е. решениями являются наборы:

Для x1=0 существуют два значения x2 (0 и 1), а для x1=1 только одно значение x2 (1), такие, что набор (x1,x2) является решением уравнения. Всего 3 набора.

Добавим переменную x3 и рассмотрим второе уравнение. Оно аналогично первому, значит для x2=0 существуют два значения x3 (0 и 1), а для x2=1 только одно значение x3 (1), такие, что набор (x2,x3) является решением уравнения. Всего 4 набора.

Несложно заметить, что при добавлении очередной переменной добавляется один набор. Т.е. рекурсивная формула количества наборов на (i+1) переменных:

N i +1 = N i + 1. Тогда для десяти переменных получим 11 наборов.

Ответ: 11

Решение систем логических уравнений различного типа

Пример 4.

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x 1 , ..., x 4 , y 1 ,..., y 4 , z 1 ,..., z 4 , которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x 1 → x 2) ∧ (x 2 → x 3) ∧ (x 3 → x 4) = 1

(y 1 → y 2) ∧ (y 2 → y 3) ∧ (y 3 → y 4) = 1

(z 1 → z 2) ∧ (z 2 → z 3) ∧ (z 3 → z 4) = 1

x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x 1 , ..., x 4 , y 1 , ..., y 4 , z 1 , ..., z 4 , при которых выполнена данная система равенств.

В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение:

Заметим, что три уравнения системы одинаковы на различных независимых наборах переменных.

Рассмотрим первое уравнение. Конъюнкция истинна (равна 1) только тогда, когда все ее операнды истинны (равны 1). Импликация равна 1 на всех наборах, кроме (1,0). Значит, решением первого уравнения будут такие наборы x1, x2, x3, x4, в которых 1 не стоит левее 0 (5 наборов):

Аналогично, решениями второго и третьего уравнений будут абсолютно такие же наборы y1,…,y4 и z1,…, z4.

Теперь проанализируем четвертое уравнение системы: x 4 ∧ y 4 ∧ z 4 = 0. Решением будут все наборы x4, y4, z4, в которых хотя бы одна из переменных равна 0.

Т.е. для x4 = 0 подойдут все возможные наборы (y4, z4), а для x4 = 1 подойдут наборы (y4, z4), в которых присутствует хотя бы один ноль: (0, 0), (0,1) , (1,0).

				Кол-во наборов

Общее количество наборов 25 + 4*9 = 25 + 36 = 61.

Ответ: 61

Решение систем логических уравнений методом построения рекуррентных формул

Метод построения рекуррентных формул применяется при решении сложных систем, в которых порядок увеличения количества наборов неочевиден, а построение дерева невозможно из-за объемов.

Пример 5.

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, … x7, y1, y2, … y7, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1 ∨ y1) ∧ ((x2 ∧ y2) → (x1 ∧ y1)) = 1

(x2 ∨ y2) ∧ ((x3 ∧ y3) → (x2 ∧ y2)) = 1

(x6 ∨ y6) ∧ ((x7 ∧ y7) → (x6 ∧ y6)) = 1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, ..., x7, y1, y2, ..., y7, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение:

Заметим, что первые шесть уравнений системы одинаковы и отличаются только набором переменных. Рассмотрим первое уравнение. Его решением будут следующие наборы переменных:

Обозначим:

число наборов (0,0) на переменных (x1,y1) через A 1 ,

число наборов (0,1) на переменных (x1,y1) через B 1 ,

число наборов (1,0) на переменных (x1,y1) через C 1 ,

число наборов (1,1) на переменных (x1,y1) через D 1 .

число наборов (0,0) на переменных (x2,y2) через A 2 ,

число наборов (0,1) на переменных (x2,y2) через B 2 ,

число наборов (1,0) на переменных (x2,y2) через C 2 ,

число наборов (1,1) на переменных (x2,y2) через D 2 .

Из дерева решений видим, что

A 1 =0, B 1 =1, C 1 =1, D 1 =1.

Заметим, что набор (0,0) на переменных (x2,y2) получается из наборов (0,1), (1,0) и (1,1) на переменных (x1,y1). Т.е. A 2 =B 1 +C 1 +D 1 .

Набор (0,1) на переменных (x2,y2) получается из наборов (0,1), (1,0) и (1,1) на переменных (x1,y1). Т.е. B 2 =B 1 +C 1 +D 1 .

Аналогично рассуждая, заметим, что С 2 =B 1 +C 1 +D 1 . D 2 = D 1 .

Таким образом, получаем рекуррентные формулы:

A i+1 = B i + C i + D i

B i+1 = B i + C i + D i

C i+1 = B i + C i + D i

D i+1 = A i +B i + C i + D i

Составим таблицу

Наборы	Обозн .	Формула	Количество наборов
Наборы	Обозн .	Формула	i=1	i=2	i=3	i=4	i=5	i=6	i=7
(0,0)	A i	A i+1 =B i +C i +D i	0	3	7	15	31	63	127
(0,1)	B i	B i+1 =B i +C i +D i	1	3	7	15	31	63	127
(1,0)	C i	C i+1 =B i +C i +D i	1	3	7	15	31	63	127
(1,1)	D i	D i+1 =D i	1	1	1	1	1	1	1

Последнему уравнению (x7 ∨ y7) = 1 удовлетворяют все наборы, кроме тех, в которых x7=0 и y7=0. В нашей таблице число таких наборов A 7 .

Тогда общее количество наборов равно B 7 + C 7 + D 7 = 127+127+1 = 255

Ответ: 255

Решение систем логических уравнений табличным способами преобразованием логических выражений.

Данная методика основана на использование таблиц истинности, рассчитана на учащихся, которые владеют методами преобразования логических выражений. Если учащиеся плохо владеют этими методами, можно использовать и без преобразований. (Мы будем использовать преобразования). Для овладения этим способом решения, необходимы в обязательном порядке знание свойств основных логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, инверсии, импликации и эквивалентности.

Алгоритм решения систем уравнений по этому методу:

Преобразовать логическое уравнение, упростить его.

Определить последовательность решения уравнений в системе, так как в большинстве случаев идет последовательное решение уравнений сверху вниз (как они расположены в системе), но есть варианты, когда удобнее, проще начать решать снизу вверх.

Построить таблицу переменных, где задать начальные значения первой переменной (или последней).

Последовательно прописать возможные варианты следующей переменной при каждом значении первой.

После решения предыдущего уравнения, переходя на следующее, обязательно обращать внимание: какие переменные используются в предыдущем и последующем уравнении, так как полученные при решении в предыдущих уравнениях значения переменных переходят как варианты для следующих уравнений.

Обращать внимание на получаемые количества решения при переходе к следующей переменной, т.к. может быть выявлена закономерность в увеличении решений.

Пример1.

¬ X 1 ˅ X 2=1

¬ X 2 ˅ X 3=1

¬ X 3 ˅ X 4=1

¬ X 9 ˅ X 10=1

Начнем с Х1 и посмотрим какие значения эта переменная может принимать: 0 и 1.

Затем рассмотрим каждое из этих значений и посмотрим, какое может быть при этом Х2.

Ответ: 11 решений

Пример 2.

( X 1˄ X 2)˅(¬ X 1˄¬ X 2) ˅( X 1↔ X 3)=1

( X 2˄ X 3)˅(¬ X 2˄¬ X 3) ˅( X 2↔ X 4)=1

(X8˄ X9)˅(¬X8˄¬X9) ˅(X8↔X10)=0

Преобразуем по формуле (A ˄ B )˅ (¬ A ˄ ¬ B )= A ↔ B

Получаем:

( X 1↔ X 2) ˅ ( X 1↔ X 3) =1

( X 2↔ X 3) ˅ ( X 2↔ X 4) =1

( X 8↔ X 9) ˅ ( X 8↔ X 10) =0

Для Х1 =0 - 8 решений

Возьмем Х1=1 и посмотрим какие значение может принимать Х2. Теперь для каждого Х2 рассмотрим какие значения может принимать Х3 и т.д.

Для Х1=1 – 8 решений

Итого 8+8=16 решений

Ответ. 16 решений

Пример 3 .

¬ ( X 1↔ X 2) ˄ ( X 1 ˅ X 3) ˄ (¬ X 1 ˅ ¬ X 3 )=0

¬ ( X 2↔ X 3) ˄ ( X 2 ˅ X 4) ˄ (¬ X 2 ˅ ¬ X 4)=0

….

¬ ( X 8↔ X 9) ˄ ( X 8 ˅ X 10) ˄ (¬ X 8 ˅ ¬ X 10)=0

После преобразований (A ˅ B ) ˄(¬ A ˅¬ B )= ¬( A ↔ B )

получаем:

¬ ( X 1↔ X 2) ˄ ¬ ( X 1↔ X 3)=0

¬ ( X 2↔ X 3) ˄ ¬ ( X 2↔ X 4)=0

…..

¬ ( X 8↔ X 9) ˄ ¬ ( X 8↔ X 10)=0

Возьмем Х1=0 и посмотрим какие значение может принимать Х2. Теперь для каждого Х2 рассмотрим какие значения может принимать Х3 и т.д

Получилось 10 решений для Х1=0

То же самое проделаем для Х1=1. Получим тоже 10 решений

Итого:10+10=20

Ответ: 20 решений.

Пример 4.

(Х1 ˄ Х2) ˅ (¬Х1 ˄ ¬Х2 ) ˅ (Х2 ˄ Х3) ˅ (¬Х2 ˄¬ Х3) =1

(Х2 ˄ Х3) ˅ (¬Х2 ˄ ¬Х3) ˅ (Х3˄ Х4) ˅ (¬Х3 ˄¬ Х4)=1

….

(Х8 ˄ Х9) ˅ (¬Х8˄ ¬Х9) ˅ (Х9 ˄ Х10) ˅ (¬Х9 ˄¬ Х10)=0

Преобразуем по формулам. (A ˄ B )˅ (¬ A ˄ ¬ B )= A ↔ B . Получим:

(Х1↔ Х2) ˅ (Х2↔ Х3)=1

(Х2↔ Х3) ˅ (Х3↔ Х4)=1

(Х3↔ Х4) ˅ (Х4↔ Х5)=1

(Х4↔ Х5) ˅ (Х5↔ Х6)=1

(Х5↔ Х6) ˅ (Х6↔ Х7)=1

(Х6↔ Х7) ˅ (Х7↔ Х8)=1

(Х7↔ Х8) ˅ (Х8↔ Х9)=1

(Х8↔ Х9) ˅ (Х9↔ Х10)=0

Начнем с конца, потому что в последнем уравнении переменные определятся однозначно.

Пусть Х10=0, тогда Х9=1, Х8=0, Х7=0, Х6=0, а следующие переменные могут принимать разные значения. Будем рассматривать каждое .

Итого 21 решение для Х10=0

Теперь рассмотрим для Х10=1. Получаем тоже 21 решение

Итого:21+21=42

Ответ: 42 решения

Пример 5.

( X 1 ˄ X 2) ˅ (¬ X 1 ˄ ¬ X 2) ˅ (¬ X 3 ˄ X 4) ˅ ( X 3 ˄ ¬ X 4)=1

( X 3 ˄ X 4) ˅ (¬ X 3 ˄ ¬ X 4) ˅ (¬ X 5 ˄ X 6) ˅ ( X 5 ˄ ¬ X 6)=1

( X 5 ˄ X 6) ˅ (¬ X 5 ˄ ¬ X 6) ˅ (¬ X 7 ˄ X 8) ˅ ( X 7 ˄ ¬ X 8)=1

( X 7 ˄ X 8) ˅ (¬ X 7 ˄ ¬ X 8) ˅ (¬ X 9 ˄ X 10) ˅ ( X 9˄ ¬ X 10) =1

Преобразуем по формулам: (¬ A ˄ B ) ˅ ( A ˄ ¬ B )= A ↔ ¬ B

( A ˄ B )˅ (¬ A ˄ ¬ B )= A ↔ B

( X 1↔ X 2) ˅ ( X 3 ↔ ¬ X 4)=1

( X 3↔ X 4) ˅ ( X 5 ↔ ¬ X 6)=1

( X 5↔ X 6) ˅ ( X 7 ↔ ¬ X 8)=1

( X 7↔ X 8) ˅ ( X 9 ↔ ¬ X 10)=1

Рассмотрим какие значения могут принимать Х1 и Х2: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1).

Рассмотрим каждый вариант и посмотрим какие значения при этом могут принимать Х3, Х4

Начиная с Х7, Х8 будем сразу записывать количество решений, так как сразу видно, что когда значения одинаковые (1,1) и (0,0), то следующие переменные имеют 4 решения, а когда разные (0,1) и (1,0) – 2 решения.

Итого: 80+80+32=192

Ответ:192 решения

Пример 6.

(Х1↔ Х2) ˅ (Х2 ↔Х3)=1

(Х2↔ Х3) ˅ (Х3↔Х4)=1

(Х3↔ Х4) ˅ (Х4 ↔Х5)=1

….

(Х8↔ Х9) ˅ (Х9 ↔Х10)=1

Возьмем Х1=0 и посмотрим какие значение может принимать Х2. Теперь для каждого Х2 рассмотрим какие значения может принимать Х3 и т.д.

Видим некоторую закономерность: Количество следующих решений равно сумме двух предыдущих.

То же самое для Х1=1 получаем 89 решений

Итого: 89+89=178 решений

Ответ: 178 решений

Решим еще одним способом

(Х1↔ Х2) ˅ (Х2 ↔Х3)=1

(Х2↔ Х3) ˅ (Х3↔Х4)=1

(Х3↔ Х4) ˅ (Х4 ↔Х5)=1

….

(Х8↔ Х9) ˅ (Х9 ↔Х10)=1

Введем замену:

T 1 =(Х1↔ Х2)

T 2 =(Х2↔ Х3)

T 3 =(Х3↔ Х4)

T 4 =(Х4↔ Х5)

T 5 =(Х5↔ Х6)

T 6 =(Х6↔ Х7)

T 7 =(Х7↔ Х8)

T 8 =(Х8↔ Х9)

T 9 =(Х9↔ Х10)

Получаем:

T 1 ˅ T 2=1

T 2 ˅ T 3=1

T 3 ˅ T 4=1

T 4 ˅ T 5=1

T 5 ˅ T 6=1

T 6 ˅ T 7=1

T 7 ˅ T 8=1

T 8 ˅ T 9=1

T 9 ˅ T 10=1

Возьмем T 1=1 и используем свойства дизъюнкции:

НО Вспомним, что

T 1 =(Х1↔ Х2)

T 2 =(Х2↔ Х3) и т.д.

Воспользуемся свойством эквивалентности и убедимся, глядя на таблицу, что

Когда Т =1, то получается два решения. А когда =0 –одно решение.

Следовательно, можно подсчитать количество единиц и умножить их на 2+ количество нулей. Подсчет, так же используя закономерность .

Получается, что количество единиц = предыдущему общему количеству решений Т, а количество нулей равно предыдущему количеству единиц

Итак. Получим. Так как единица дает два решения, то 34*2=68 решений из единицы+21 решение из 0.

Итого 89 решений для Т=1. Аналогичным способом получаем 89 решений для Т=0

Итого 89+89=178

Ответ: 178 решений

Пример 7.

(X 1 ↔ X 2) ˅ (X 3↔ X 4) ˄ ¬(X 1 ↔ X 2) ˅ ¬(X 3↔ X 4)=1

(X 3 ↔ X 4) ˅ (X 5↔ X 6) ˄ ¬(X 3 ↔ X 4) ˅ ¬(X 5↔ X 6)=1

(X 5 ↔ X 6) ˅ (X 7↔ X 8) ˄ ¬(X 5 ↔ X 6) ˅ ¬(X 7↔ X 8)=1

(X 7 ↔ X 8) ˅ (X 9↔ X 10) ˄ ¬(X 7 ↔ X 8) ˅ ¬(X 9↔ X 10)=1

Введем замену:

T 1=(X 1 ↔ X 2)

T 2=(X 3↔ X 4)

T 3=(X 5↔ X 6)

T 4=(X 7 ↔ X 8)

T 5=(X 9↔ X 10)

Получим:

(Т1 ˅ Т2) ˄ ¬(Т1 ˅¬ Т2)=1

(Т2 ˅ Т3) ˄ ¬(Т2˅¬ Т3)=1

(Т3 ˅ Т4) ˄ ¬(Т3 ˅¬ Т4)=1

(Т4 ˅ Т5) ˄ ¬(Т4˅¬ Т5)=1

Рассмотрим какие могут быть Т:

Т1

Т2

Т3

Т4

Т5

Итого

Т K ≠Т К+1 И Т K =Т К+2

Получаем: 2 5 =32 для Т

Итого: 32+32=64

Ответ: 64 решения.

По завершению года оказалось, что только одно из трех предположений истинно. Какие подразделения получили по итогам года прибыль?

Решение. Запишем предположения из условия задачи в виде логических высказываний: «Получение прибыли подразделением B не является необходимым условием для получения

прибыли подразделением A »: F 1 (A , B , C ) = A → B

«Получение прибыли хотя бы одним подразделений B и C не является достаточным для получения прибыли подразделением A »: F 2 (A , B , C ) = (B + C ) → A

«Подразделения A и B не получат прибыль одновременно»: F 3 (A , B , C ) = A B

Из условия известно, что только одно из трех предположений истинно. Это значит, что мы должны найти какое из трех следующих логических выражений не является тождественно ложным:

1) F 1 F 2 F 3

2) F 1 F 2 F 3

3) F 1 F 2 F 3

1) (A → B) ((B + C) → A) (A ↔ B) = A B (B C + A) (A B + A B) = 0

2) (A → B) ((B + C) → A) (A ↔ B) = (A + B) (A B + A C) (A B + A B) = A B C

3) (A → B) ((B + C) → A) (A B) = (A + B) (B C + A) (A B + A B) = 0

Следовательно, по итогам годы истинным оказалось второе предположение, а первое и третье – ложными.

									A = 0

	F1 F2 F3 = A B C = 1
	F1 F2 F3 = A B C = 1								в том и только в том случае, когда B = 0 .

									C = 1

Следовательно, что прибыль получит подразделение C , а подразделения A и B прибыль не получат.

Решение логических уравнений

В текстах государственного централизованного тестирования есть задание (А8), в котором предлагается найти корень логического уравнения. Давайте разберем способы решения подобных заданий на примере.

Найти корень логического уравнения: (A + B )(X AB ) = B + X → A .

Первый способ решения – построение таблицы истинности. Построим таблицы истинности правой и левой части уравнения и посмотрим, при каком X , значения в последних столбцах этих таблиц совпадут.

F1 (A, B, X ) = (A + B)(X AB)

A + B	(A + B)(X AB)	F 1 (A , B , X )

F2 (A, B, X ) = B + X → A

X → A			F 2 (A , B , X )
X → A	X → A	X → A	F 2 (A , B , X )

Сравним полученные таблицы истинности и выберем те строки, в которых значения F 1 (A , B , X ) и F 2 (A , B , X ) совпадают.

			F 1 (A , B , X )	F 2 (A , B , X )

Перепишем только выбранные строки, оставив только столбцы аргументов. Посмотрим на переменную X как на функцию от A и B .

Очевидно, что X = B → A .

Второй способ решения – заменить знак равенства в уравнении на знак эквиваленции, а затем упростить полученное логическое уравнение.

Для облегчения дальнейшей работы предварительно упростим правую и левую части логического уравнения и найдем их отрицания:

F1 = (A + B)(X AB) = A + B + (X ↔ AB) = A B + X A B + X A + X B

F1 = (A + B)(X AB) = (A + B)(X A + X B + X A B) = X A B + X A B + X A B

F2 = B + X → A = B (X → A) = B (X + A) = X B + A B F2 = B + X → A = B + X + A = B + X A

Заменим в нашем логическом уравнении знак равенства на знак эквивалентности:

F1 ↔ F2 = F1 F2 + F1 F2 = (A B + X A B + X A + X B) (X B + A B) +

+ (X A B + X A B + X A B) (B + X A) =

= (X A B + X B + X A B) + (X A B + X A B) =

Перегруппируем логические слагаемые данного выражения, вынеся за скобку множители X и X .

X (A B) + X (B + AB) = X (A B) + X (B + A) =

Обозначим T = A B , тогда

X T + X T = X ↔ T .

Следовательно, чтобы логическое уравнение имеет решение: X = A B = B + A = B → A .

Логические элементы ЭВМ. Построение функциональных схем

Математическая логика с развитием ВТ оказалась в тесной взаимосвязи с вопросами конструирования и программирования вычислительной техники. Алгебра логики нашла широкое применение первоначально при разработке релейно-контактных схем . Первым фундаментальным исследованием, обратившим внимание инженеров, занимавшихся проектированием ЭВМ, на возможность анализа электрических цепей с помощью булевой алгебры была опубликована в декабре 1938 года статья американца Клода Шеннона «Символический анализ релейно-контактных схем». После этой статьи проектирование ЭВМ не обходилось без применения булевой алгебры.

Логический элемент - это схема, реализующая логические операции дизъюнкции, конъюнкции и инверсии. Рассмотрим реализацию логических элементов через электрические релейно-контактные схемы, знакомые вам из школьного курса физики.

Последовательное соединение контактов

Параллельное соединение контактов

Составим таблицу зависимостей состояния цепей от всевозможных состояний контактов. Введем обозначения: 1 – контакт замкнут, ток в цепи есть; 0 – контакт разомкнут, тока в цепи нет.

		Состояние цепи с	Состояние цепи с параллельным
		последовательным соединением	соединением

Как видно, цепь с последовательным соединением соответствует логической операции конъюнкция, так как ток в цепи появляется только при одновременном замыкании контактов A и B . Цепь с параллельным соединением соответствует логической операции дизъюнкция, так как ток в цепи отсутствует только в момент, когда оба контакта разомкнуты.

Логическая операция инверсии реализуется через контактную схему электромагнитного реле, принцип которого изучается в школьном курсе физики. Контакт x разомкнут, когда x замкнут, и наоборот.

Использование релейно-контактных элементов для построения логических схем вычислительных машин не оправдало себя ввиду низкой надежности, больших габаритов, большого энергопотребления и низкого быстродействия. Появление электронных приборов (вакуумных и полупроводниковых) создало возможность построения логических элементов с быстродействием от 1 миллиона переключений в секунду и выше. Логические элементы на полупроводниках работают в режиме ключа аналогично электромагнитному реле. Вся теория, изложенная для контактных схем, переносится на полупроводниковые элементы. Логические элементы на полупроводниках характеризуются не состоянием контактов, а наличием сигналов на входе и выходе.

Рассмотрим логические элементы, реализующие основные логические операции:

Инвертор - реализует операцию отрицания или инверсию. У

инвертора один вход и один выход. Сигнал на выходе появляется

тогда, когда на входе его нет, и наоборот.

Конъюнктор -

X1 X 2 ... X n

реализует операцию конъюнкции.

У конъюнктора

один выход и не менее двух входов. Сигнал на

выходе появляется тогда и только тогда, когда на

все входы поданы сигналы.

X 2 + ... X n

Дизъюнктор - реализует операцию дизъюнкции. У

дизъюнктора один выход и не менее двух

Сигнал на выходе не появляется тогда и только тогда,

когда на все входы не поданы сигналы.

	Построить	функциональную
F(X , Y, Z) = X (Y + Z)



			X + Z

схему, соответствующую функции:

& F(X , Y , Z )

Решение задач с использованием конъюнктивно-нормальной

и дизъюнктивно-нормальной форм

В задачниках по логике часто встречаются стандартные задачи, где нужно записать функцию, реализующую релейно-контактную схему, упростить ее и построить таблицу истинности для этой функции. А как решать обратную задачу? Дана произвольная таблица истинности, нужно построить функциональную или релейно-контактную схему. Этим вопросом мы и займемся сегодня.

Любую функцию алгебры логики можно представить комбинацией трех операций: конъюнкции, дизъюнкции и инверсии. Давайте разберемся, как это делается. Для этого запишем несколько определений.

Минтерм - это функция, образованная конъюнкцией некоторого числа переменных или их отрицаний. Минтерм принимает значение 1 при единственном из всех возможных наборов

аргументов, и значение 0 при всех остальных. Пример: x 1 x 2 x 3 x 4 .

Макстерм - это функция, образованная дизъюнкцией некоторого числа переменных или их отрицаний. Макстерм принимает значение 0 в одном из возможных наборов, и 1 при всех других.

Пример: x 1 + x 2 + x 3 .

Функция в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) является логической суммой минтермов.

Пример: x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 x 3 .

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) является логическим произведением элементарных дизъюнкций (макстермов).

Пример: (x 1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 ) .

Совершенной дизъюнктивно-нормальной формой называется ДНФ, в каждом минтерме которой присутствуют все переменные или их отрицания.

Пример: x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3

Совершенной конъюктивно-нормальной формой называется КНФ, в каждом макстерме которой присутствуют все переменные или их отрицания.

Пример: (x 1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 )

Запись логической функции по таблице

Любая логическая функция может быть выражена в виде СДНФ или СКНФ. В качестве примера рассмотрим функцию f , представленную в таблице.

			f(x1 , x2 , x3 )

Функции G0, G1, G4, G5, G7 – это минтермы (см. определение). Каждая из этих функций является произведением трех переменных или их инверсий и принимает значение 1 только в одной ситуации. Видно, что для того, чтобы получить 1 в значении функции f, нужен один минтерм. Следовательно, количество минтермов, составляющих СДНФ этой функции, равно количеству единиц в значении функции: f= G0+G1+G4+G5+G7. Таким образом, СДНФ имеет вид:

f (x 1, x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3.

Аналогично можно построить СКНФ. Количество сомножителей равно количеству нулей в значениях функции:

f (x 1, x 2 , x 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 ) (x 1 + x 2 + x 3 ) .

Таким образом, можно записать в виде формулы любую логическую функцию, заданную в виде таблицы.

Алгоритм построения СДНФ по таблице истинности

Дана таблица истинности некоторой функции. Для построения СДНФ необходимо выполнить следующую последовательность шагов:

1. Выбрать все строки таблицы, в которых функция принимает значение 1.

2. Каждой такой строке поставить в соответствие конъюнкцию всех аргументов или их инверсий (минтерм). При этом аргумент, принимающий значение 0, входит в минтерм с отрицанием, а значение 1 – без отрицания.

3. Наконец, образуем дизъюнкцию всех полученных минтермов. Количество минтермов должно совпадать с количеством единиц логической функции.

Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности

Дана таблица истинности некоторой функции. Для построения СКНФ необходимо выполнить следующую последовательность шагов:

1. Выбрать все строки таблицы, в которых функция принимает значение 0.

2. Каждой такой строке поставить в соответствие дизъюнкцию всех аргументов или их инверсий (макстерм). При этом аргумент, принимающий значение 1, входит в макстерм с отрицанием, а значение 1 – без отрицания.

3. Наконец, образуем конъюнкцию всех полученных макстермов. Количество макстермов должно совпадать с количеством нулей логической функции.

Если условиться из двух форм (СДНФ или СКНФ) отдавать предпочтение той, которая содержит меньше букв, то СДНФ предпочтительней, если среди значений функции таблицы истинности меньше единиц, СКНФ – если меньше нулей.

Пример. Дана таблица истинности логической функции от трех переменных. Построить логическую формулу, реализующую эту функцию.

			F(A, B, C)

Выберем те строки в данной таблице истинности, в которых значения функции равна 0.

F(A, B, C) = (A + B + C) (A + B + C)

Проверим выведенную функцию, составив таблицу истинности.

Сравнив начальную и итоговую таблицу истинности можно сделать вывод, что логическая функция построена правильно.

Решение задач

1. Три преподавателя отбирают задачи для олимпиады. На выбор предлагается несколько задач. По каждой задаче каждый из преподавателей высказывает свое мнение: легкая (0) или трудная (1) задача. Задача включается в олимпиадное задание, если не менее двух преподавателей отметили ее как трудную, но если все три преподавателя считают ее трудной, то такая задача не включается в олимпиадное задание как слишком сложная. Составьте логическую схему устройства, которое будет выдавать на выходе 1, если задача включается в олимпиадное задание, и 0, если не включается.

Построим таблицу истинности искомой функции. У нас есть три входные переменные (три преподавателя). Следовательно, искомая функция будет функцией от трех переменных.

Анализируя условие задачи, получаем следующую таблицу истинности:

Строим СДНФ. F(A, B, C) = ABC + ABC + ABC

Теперь строим логическую схему этой функции.

B & 1 F(A,B,C)

2. Городская олимпиада по базовому курсу информатики, 2007 год. Постройте схему электрической цепи для подъезда трехэтажного дома такую, чтобы выключателем на любом этаже можно было бы включить или выключить свет во всем доме.

Итак, у нас есть три выключателя, которыми мы должны включать и выключать свет. У каждого выключателя есть два состояния: верхнее (0) и нижнее (1). Предположим, что если все три выключателя в положении 0, свет в подъезде выключен. Тогда при переводе любого из трех выключателей в положение 1 свет в подъезде должен загореться. Очевидно, что при переводе любого другого выключателя в положение 1, свет в подъезде выключится. Если третий выключатель перевести в положение 1, свет в подъезде загорится. Строим таблицу истинности.

Тогда, F(A, B, C) = ABC + ABC + ABC + ABC .

3. Условие изменения		значения логической функции		F(A, B, C) = C →		A + B
одновременном изменении аргументов B и C равно:


	A → (B C)				(B C) → A
			A(B C)
4) (B C) → A			A → (B C)

Примечание. Для успешного решения данной задачи вспомним следующие логические формулы:

x → y = x + y x y = x y + x y

x ↔ y = x y + x y

Нам дана логическая функция от трех переменных F 1 (A , B , C ) = C → A + B = C + A B .

Изменим одновременно переменные B и C : F 2 (A , B , C ) = F 1 (A , B , C ) = C + A B . Построим таблицы истинности этих двух функций:

Анализируем полученную таблицу. Из восьми строк таблицы лишь в двух (2-й и 3-й) функция не изменяет своего значения. Обратите внимание, что в этих строках переменная A не изменяет своего значения на противоположное, а переменные B и C – изменяют.

Строим СКНФ функции по этим строкам:

F3 (A, B, C) = (A + B + C) (A + B C) = A + AB + AC + AB + BC + AC + B C = .

A + (B ↔ C) = A + B C = (B C) → A

Следовательно, искомый ответ – 4.

4. Условие изменения значения логической функции F (A , B , C ) = C + AB при одновременном изменении аргументов A и B равно:

1) C + (A B)

C + (A B)

C(A B)

4) C(A B)

C → (A B)

F 1 (A , B ,C ) =

C + AB

F 2 (A , B ,C ) = F 1 (

C ) = A

Строим таблицу истинности.

Анализируем полученную таблицу. Из восьми строк таблицы лишь в двух (1-й и 7-й) функция меняет свое значение. Обратите внимание, что в этих строках переменная С не меняет свое значение, а переменные A и B – меняют.

Строим СДНФ функции по этим строкам:

F3 (A, B, C) = A B C + A B C = C(A B + A B) = C(A ↔ B) = C + (A B)

Следовательно, искомый ответ – 2.

Использованная литература

1. Шапиро С.И. Решение логических и игровых задач (логико-психологические этюды). – М.: Радио и связь, 1984. – 152 с.

2. Шоломов Л.А. Основы теории дискретных логических и вычислительных устройств. – М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1980. - 400 с.

3. Пухальский Г.И., Новосельцева Т.Я. Проектирование дискретных устройств на интегральных микросхемах.: Справочник. – М.: Радио и связь, 1990.

142. Найдите наибольшее однобайтное двоичное решение уравнения
.

143. Найдите X , если .

144. Последовательность высказываний определена следующим рекуррентным соотношением: . Высказывания заданы, причем и истинны, ложно. Истинно или ложно высказывание ? Как выражается через ?

145. Сколько различных решений имеет логическое уравнение
?

146. Сколько различных решений имеет логическое уравнение
?

147. Сколько различных решений имеет логическое уравнение:
.

148. Сколько различных решений имеет логическое уравнение: .

149. Сколько различных решений имеет логическое уравнение: .

150. Сколько различных решений имеет логическое уравнение: .

151. Сколько различных решений имеет логическое уравнение:
.

152. Решить уравнение:

153. Найдите все различные решения уравнения: .

Найти корни логического уравнения:

Найти корни систем логических уравнений:

Найдите количество решений следующих систем логических уравнений:

x 3
l 2
l 3
k
M
N
Электрическая цепь между точками M и N составлена по схеме, изображенной на рисунке. Рассмотрим следующие четыре высказывания:
A = {Элемент цепи k вышел из строя},
B i = {Элемент цепи l i вышел из строя}. Замкнута ли цепь, если:
а) высказывание истинно,
б) высказывание истинно?
Является ли одно из этих высказываний отрицанием другого?

183. (Экономная задача) Построить схему электрической цепи для подъезда трехэтажного здания, чтобы выключателем на любом этаже можно было бы включить и выключить свет во всем подъезде.

184. (Аварийный станок) На участке цеха стоят три станка – два рабочих, третий аварийный. Требуется соединить станки автоматической линией так, чтобы третий станок включался тогда, и только тогда, когда останавливается хотя бы один из первых двух станков.

185. Пусть в некотором конкурсе решается вопрос о допуске того или иного участника к следующему туру тремя членами жюри: A, B, C. Решение положительно тогда и только тогда, когда хотя бы двое членов жюри высказываются за допуск, причем среди них обязательно должен быть председатель жюри С . Необходимо разработать устройство для голосования, в котором каждый член жюри нажимает на одну из двух кнопок – «За» или «Против», а результат голосования всех трех членов жюри определяется по тому, загорится (решение принято) или нет (решение не принято) сигнальная лампочка.

186. Три преподавателя отбирают задачи для олимпиады. На выбор предлагается несколько задач. По каждой из задач каждый из преподавателей высказывает свое мнение: легкая задача (0) или трудная задача (1). Задача включается в олимпиадное задание, если не менее двух преподавателей отметили ее как трудную, но если все три преподавателя считают ее трудной, то такая задача не включается в олимпиадное задание как слишком сложная. Составьте функциональную схему устройства, которое будет выдавать на выходе 1, если задача включается в олимпиадное задание, и 0, если не включается.

187. Запишите структурную формулу для следующей логической схемы:

191. Имеются только два конъюнктора и один инвертор. Можно ли из этих трех логических элементов (вентилей) составить логическую схему, эквивалентную схеме выражения . Какой вид имеет эта схема?

192. Имеется только 1 конъюнктор, 1 дизъюнктор и 1 инвертор. Можно ли составить из этих элементов логическую схему, эквивалентную схеме логического выражения ? Все три вентиля должны быть использованы. Какой вид имеет эта схема?

Данной материал содержит презентацию, в которой представлены методы решения логических уравнений и систем логических уравнений в задании В15 (№ 23, 2015) ЕГЭ по информатике. Известно, что это задание является одним из самых сложных среди заданий ЕГЭ. Презентация может быть полезна при проведении уроков по теме "Логика" в профильных классах, а также при подготовке к сдаче ЕГЭ.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Решение задания В15 (системы логических уравнений) Вишневская М.П., МАОУ «Гимназия №3» 18 ноября 2013 г., г. Саратов

Задание В15 - одно из самых сложных в ЕГЭ по информатике!!! Проверяются умения: преобразовывать выражения, содержащие логические переменные; описывать на естественном языке множество значений логических переменных, при которых заданный набор логических переменных истинен; подсчитывать число двоичных наборов, удовлетворяющих заданным условиям. Самое сложное, т.к. нет формальных правил, как это сделать, требуется догадка.

Без чего не обойтись!

Условные обозначения конъюнкция: A /\ B , A  B , AB , А &B, A and B дизъюнкция: A \ / B , A + B , A | B , А or B отрицание:  A , А, not A эквиваленция: A  В, A  B, A  B исключающее «или»: A  B , A xor B

Метод замены переменных Сколько существует различных наборов значений логических переменных х1, х2, …, х9, х10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям: ((x1 ≡ x2) \/ (x3 ≡ x4)) /\ (¬(x1 ≡ x2) \/ ¬(x3 ≡ x4)) = 1 ((x3 ≡ x4) \/ (x5 ≡ x6)) /\ (¬(x3 ≡ x4) \/ ¬(x5 ≡ x6)) = 1 ((x5 ≡ x6) \/ (x7 ≡ x8)) /\ (¬(x5 ≡ x7) \/ ¬(x7 ≡ x8)) = 1 ((x7 ≡ x8) \/ (x9 ≡ x10)) /\ (¬(x7 ≡ x8) \/ ¬(x9 ≡ x10)) = 1 В ответе не нужно перечислять все различные наборы х1, х2, …, х9, х10, при которых выполняется данная система равенств. В качестве ответа необходимо указать количество таких наборов (демо-версия 2012 г.)

Решение Шаг 1. Упрощаем, выполнив замену переменных t1 = x1  x2 t2 = x3  x4 t3 = x5  x6 t4 = x7  x8 t5 = x9  x10 После упрощения: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) =1 (t2 \/ t3) /\ (¬t2 \/ ¬ t3) =1 (t3 \/ t4) /\ (¬t3 \/ ¬ t4) =1 (t4 \/ t5) /\ (¬t4 \/ ¬ t5) =1 Рассмотрим одно из уравнений: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) =1 Очевидно, оно =1 только если одна из переменных равна 0, а другая – 1. Воспользуемся формулой для выражения операции XOR через конъюнкцию и дизъюнкцию: (t1 \/ t2) /\ (¬t1 \/ ¬ t2) = t1  t2 = ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t2 ≡ t3) =1 ¬(t3 ≡ t4) =1 ¬(t4 ≡ t5) =1

Шаг2. Анализ системы ¬(t1 ≡ t2) =1 ¬(t2 ≡ t3) =1 ¬(t3 ≡ t4) =1 ¬(t4 ≡ t5) =1 t1 t2 t3 t4 t5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Т.к. tk = x2k-1 ≡ x2k (t1 = x1  x2 ,….), то каждому значению tk соответствует две пары значений x2k-1 и x2k , например: tk =0 соответствуют две пары - (0,1) и (1,0) , а tk =1 – пары (0,0) и (1,1).

Шаг3. Подсчет числа решений. Каждое t имеет 2 решения, количество t – 5. Т.о. для переменных t существует 2 5 = 32 решения. Но каждому t соответствует пара решений х, т.е. исходная система имеет 2*32 = 64 решения. Ответ: 64

Метод исключения части решений Сколько существует различных наборов значений логических переменных х1, х2, …, х5, y1,y2,… , y5 , которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям: (x1→ x2)∧(x2→ x3)∧(x3→ x4)∧(x4→ x5) =1; (y1→ y2)∧(y2→ y3)∧(y3→ y4) ∧(y4→ y5) =1; y5→ x5 =1. В ответе не нужно перечислять все различные наборы х1, х2, …, х5, y 1 ,y2,… , y5, при которых выполняется данная система равенств. В качестве ответа необходимо указать количество таких наборов.

Решение. Шаг1. Последовательное решение уравнений х1 1 0 х2 1 0 1 х3 1 0 1 1 х4 1 0 1 1 1 х5 1 0 1 1 1 1 Первое уравнение – конъюнкция нескольких операций импликации, равна 1, т.е. каждая из импликаций истинна. Импликация ложна только в одном случае, когда 1  0, во всех других случаях (0  0, 0  1, 1  1) операция возвращает 1. Запишем это в виде таблицы:

Шаг1. Последовательное решение уравнений Т.о. получено 6 наборов решений для х1,х2,х3,х4,х5: (00000), (00001), (00011), (00111), (01111), (11111). Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для y1, y2, y3, y4, y5 существует такой же набор решений. Т.к. уравнения эти независимы, т.е. в них нет общих переменных, то решением этой системы уравнений (без учета третьего уравнения) будет 6*6= 36 пар «иксов» и «игреков». Рассмотрим третье уравнение: y5→ x5 =1 Решением являются пары: 0 0 0 1 1 1 Не является решением пара: 1 0

Сопоставим полученные решения Там, где y5 =1, не подходят x5=0. таких пар 5. Количество решений системы: 36-5= 31 . Ответ: 31 Понадобилась комбинаторика!!!

Метод динамического программирования Сколько различных решений имеет логическое уравнение x 1 → x 2 → x 3 → x 4 → x 5 → x 6 = 1, где x 1, x 2, …, x 6 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количеств о таких наборов.

Решение Шаг1. Анализ условия Слева в уравнении последовательно записаны операции импликации, приоритет одинаков. Перепишем: ((((X 1 → X 2) → X 3) → X 4) → X 5) → X 6 = 1 NB! Каждая следующая переменная зависит не от предыдущей, а от результата предыдущей импликации!

Шаг2. Выявление закономерности Рассмотрим первую импликацию, X 1 → X 2. Таблица истинности: X 1 X 2 X 1 → X 2 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Из одного 0 получили 2 единицы, а из 1 получили один 0 и одну 1. Всего один 0 и три 1, это результат первой операции.

Шаг2. Выявление закономерности Подключив к результату первой операции x 3 , получим: F(x 1 ,x 2) x 3 F(x 1 ,x 2)  x 3 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 Из двух 0 – две 1, из каждой 1 (их 3) по одному 0 и 1 (3+3)

Шаг 3. Вывод формулы Т.о. можно составить формулы для вычисления количества нулей N i и количества единиц E i для уравнения с i переменными: ,

Шаг 4. Заполнение таблицы Заполним слева направо таблицу для i = 6, вычисляя число нулей и единиц по приведенным выше формулам; в таблице показано, как строится следующий столбец по предыдущему: : число переменных 1 2 3 4 5 6 Число нулей N i 1 1 3 5 11 21 Число единиц E i 1 2*1+1= 3 2*1+3= 5 11 21 43 Ответ: 43

Метод с использованием упрощений логических выражений Сколько различных решений имеет уравнение ((J → K) → (M  N  L))  ((M  N  L) → (¬ J  K))  (M → J) = 1 где J , K, L, M, N – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J , K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение Заметим, что J → K = ¬ J  K Введем замену переменных: J → K=А, M  N  L =В Перепишем уравнение с учетом замены: (A → B)  (B → A)  (M → J)=1 4. (A  B)  (M → J)= 1 5. Очевидно, что A  B при одинаковых значениях А и В 6. Рассмотрим последнюю импликацию M → J =1 Это возможно, если: M=J=0 M=0, J=1 M=J=1

Решение Т.к. A  B , то При M=J=0 получаем 1 + К=0. Нет решений. При M=0, J=1 получаем 0 + К=0, К=0, а N и L - любые, 4 решения: ¬ J  K = M  N  L K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1

Решение 10. При M=J=1 получаем 0+К=1 *N * L , или K=N*L, 4 решения: 11. Итого имеет 4+4=8 решений Ответ: 8 K N L 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1

Источники информации: О.Б. Богомолова, Д.Ю. Усенков. В15: новые задачи и новое решение // Информатика, № 6, 2012, с. 35 – 39. К.Ю. Поляков. Логические уравнения // Информатика, № 14, 2011, с. 30-35. http://ege-go.ru/zadania/grb/b15/ , [ Электронный ресурс ] . http://kpolyakov.narod.ru/school/ege.htm , [ Электронный ресурс ] .

КАТЕГОРИИ