Уравнение теплопроводности в общем виде. Теплопроводность

Решение алгебраических уравнений методом Ньютона

Достаточно популярным методом решения уравнений является метод касательных , или метод Ньютона . В этом случае уравнение вида f (x ) = 0 решается следующим образом. Сначала выбирается нулевое приближение (точка x 0). В этой точке строится касательная к графику y = f (x ). Точка пересечения этой касательной с осью абсцисс является следующим приближением для корня (точка x 1). В этой точке снова строится касательная и т.д. Последовательность точек x 0 , x 1 , x 2 … должна привести к истинному значению корня. Условием сходимости является .

Так как уравнение прямой, проходящей через точку x 0 , f (x 0) (а это и есть касательная), записывается в виде

а в качестве следующего приближения x 1 для корня исходного уравнения принимается точка пересечения этой прямой с осью абсцисс, то следует положить в этой точке y = 0:

откуда немедленно следует уравнение для нахождения следующего приближения через предыдущее:

На Рис. 3 показана реализация метода Ньютона средствами Excel. В ячейку B3 вводится начальное приближение (x 0 = -3), а затем остальных ячейках столбца вычисляются все промежуточные величины вплоть до вычисления x 1 . Для выполнения второго шага в ячейку C3 вводится значение из ячейки B10 и процесс вычислений повторяется в столбце C. Затем, выделив ячейки C2:C10 можно, потянув за маркер в правом нижнем углу выделенной области, распространить его на столбцы D:F. В итоге в ячейке F6 получено значение 0, т.е. значение в ячейке F3 есть корень уравнения.

Этот же результат можно получить, используя циклические вычисления. Тогда после заполнения первого столбца и получения первого значения x 1 следует ввести в ячейку H3 формулу =H10. При этом вычислительный процесс будет зациклен и для того, чтобы он выполнялся, в меню Сервис | Параметры на вкладке Вычисления необходимо установить флажок Итерации и указать предельное число шагов итерационного процесса и относительную погрешность (установленное по умолчанию число 0,001 явно недостаточно во многих случаях), по достижении которой вычислительный процесс остановится.

Как известно, такие физические процессы, как перенос тепла, перенос массы в процессе диффузии, подчиняются закону Фика

где l - коэффициент теплопроводности (диффузии), а T – температура (концентрация), а – поток соответствующей величины. Из математики известно, что дивергенция потока равна объемной плотности источника Q этой величины, т.е.

или, для двухмерного случая, когда исследуется распределение температуры в одной плоскости, это уравнение может быть записано в виде:

Решение этого уравнения аналитически возможно только для областей простой формы: прямоугольник, круг, кольцо. В остальных ситуациях точное решение этого уравнения невозможно, т.е. невозможно и определить распределение температуры (или концентрации вещества) в сложных случаях. Тогда приходится использовать приближенные методы решения таких уравнений.

Приближенное решение уравнения (4) в области сложной формы состоит из нескольких этапов: 1) построение сетки; 2) построение разностной схемы; 3) решение системы алгебраических уравнений. Рассмотрим последовательно каждый из этапов и их реализацию с помощью пакета Excel.

Построение сетки. Пусть область имеет форму, показанную на рис. 4. При такой форме точное аналитическое решение уравнения (4), например, методом разделения переменных, невозможно. Поэтому будем искать приближенное решение этого уравнения в отдельных точках. Нанесем на область равномерную сетку, состоящую из квадратов со стороной h . Теперь, вместо того, чтобы искать непрерывное решение уравнения (4), определенное в каждой точке области, будем искать приближенное решение, определенное только в узловых точках сетки, нанесенной на область, т.е. в углах квадратов.

Построение разностной схемы. Для построения разностной схемы рассмотрим произвольный внутренний узел сетки Ц (центральный) (рис.5). С ним соседствуют четыре узла: В (верхний), Н (нижний), Л (левый) и П (правый). Напомним, расстояние между узлами в сетке равно h . Тогда, используя выражение (2) для приближенной записи вторых производных в уравнении (4), можно приближенно записать:

откуда легко получить выражение, связывающее значение температуры в центральной точке с ее значениями в соседних точках:

Выражение (5) позволяет нам, зная значения температуры в соседних точках, вычислить ее значение в центральной точке. Такая схема, в которой производные заменяются конечными разностями, а для поиска значений в точке сетки используются только значения в ближайших соседних точках, называется цетрально-разностной схемой, а сам метод – методом конечных разностей.

Нужно понимать, что уравнение, аналогичное (5), мы получаем ДЛЯ КАЖДОЙ точки сетки, которые, таким образом, оказываются связанными друг с другом. То есть мы имеем систему алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу узлов сетки. Решать такую систему уравнений можно различными методами.

Решение системы алгебраических уравнений. Метод итераций. Пусть в граничных узлах температура задана и равна 20, а мощность теплового источника равна 100. Размеры нашей области заданы и равны по вертикали 6, а по горизонтали 8, так что сторона квадрата сетки (шаг) h = 1. Тогда выражение (5) для вычисления температуры во внутренних точках принимает вид

Поставим в соответствие каждому УЗЛУ ячейку на листе Excel. В ячейках, соответствующих граничным точкам, введем число 20 (на рис. 6 они выделены серым цветом). В остальных ячейках запишем формулу (6). Например в ячейке F2 она будет выглядеть следующим образом: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Записав эту формулу в ячейку F2, можно ее скопировать и вставить в остальные ячейки области, соответствующие внутренним узлам. При этом Excel будет сообщать о невозможности проведения вычислений из-за зацикливания результатов:

Нажмите «Отмена» и перейдите в окно Сервис|Параметры|Вычисления , где установите флажок в разделе «Итерации», указав при этом в качестве относительной погрешности величину 0,00001, а в качестве предельного количества итераций 10000:

Такие значения обеспечат нам малую СЧЁТНУЮ погрешность и гарантируют, что итерационный процесс дойдет до заданной погрешности.

Однако эти значения НЕ ОБЕСПЕЧИВАЮТ малую погрешность самого метода, так как последняя зависит от погрешности при замене вторых производных конечными разностями. Очевидно, что эта погрешность тем меньше, чем меньше шаг сетки, т.е. размер квадрата, на котором строится наша разностная схема. Это означает, что точно ВЫЧИСЛЕННОЕ значение температуры в узлах сетки, представленное на рис. 6, на самом деле может оказаться совсем не соответствующим действительности. Существует единственный метод проверить найденное решение: найти его на более мелкой сетке и сравнить с предыдущим. Если эти решения отличаются мало, то можно считать, что найденное распределение температуры соответствует действительности.

Уменьшим шаг вдвое. Вместо 1 он станет равным ½. Число узлов у нас соответственно изменится. По вертикали вместо 7 узлов (было 6 шагов, т.е. 7 узлов) станет 13 (12 квадратов, т.е. 13 узлов), а по горизонтали вместо 9 станет 17. При этом не следует забывать, что величина шага уменьшилась вдвое и теперь в формуле (6) вместо 1 2 нужно в правой части подставлять (1/2) 2 . В качестве контрольной точки, в которой будем сравнивать найденные решения, возьмем точку с максимальной температурой, отмеченную на рис. 6 желтым цветом. Результат вычислений показан на рис. 9:

Видно, что уменьшение шага привело к существенному изменению значения температуры в контрольной точки: на 4%. Для повышения точности найденного решения следует ещё уменьшить шаг сетки. Для h = ¼ получим в контрольной точке 199,9, а для h = 1/8 соответствующее значение равно 200,6. Можно построить график зависимости найденной величины от величины шага:

Из рисунка можно сделать вывод, что дальнейшее уменьшение шага не приведет к существенному изменению температуры в контрольной точке и точность найденного решения можно считать удовлетворительной.

Используя возможности пакета Excel, можно построить поверхность температуры, наглядно представляющую ее распределение в исследуемой области.

Уравнение теплопроводности для нестационарного случая

нестационарным , если температура тела зависит как от положения точки, так и от времени.

Обозначим через и = и (М , t ) температуру в точке М однородного тела, ограниченного поверхностью S , в момент времени t . Известно, что количество теплоты dQ , поглощаемой за время dt , выражается равенством

где dS − элемент поверхности, k − коэффициент внутренней теплопроводности, − производная функции и по направлению внешней нормали к поверхности S . Так как распространяется в направлении понижения температуры, то dQ > 0, если > 0, и dQ < 0, если < 0.

Из равенства (1) следует

Теперь найдем Q другим способом. Выделим элемент dV объема V , ограниченного поверхностью S . Количество теплоты dQ , получаемой элементом dV за время dt , пропорционально повышению температуры в этом элементе и массе самого элемента, т.е.

где плотность вещества, коэффициент пропорциональности, называемый теплоемкостью вещества.

Из равенства (2) следует

Таким образом,

где . Учитывая, что = , , получим

Заменяя правую часть равенства с помощью формулы Остроградского – Грина, получим

для любого объема V . Отсюда получаем дифференциальное уравнение

которое называют уравнением теплопроводности для нестационарного случая .

Если тело есть стержень, направленный по оси Ох , то уравнение теплопроводности имеет вид

Рассмотрим задачу Коши для следующих случаев.

1. Случай неограниченного стержня. Найти решение уравнения (3) (t > 0, ), удовлетворяющее начальному условию . Используя метод Фурье, получим решение в виде

− интеграл Пуассона.

2. Случай стержня , ограниченного с одной стороны. Решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию и краевому условию , выражается формулой

3. Случай стержня , ограниченного с двух сторон. Задача Коши состоит, чтобы при х = 0 и х = l найти решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию и двум краевым условиям, например, или .

В этом случае частное решение ищется в виде ряда

для краевых условий ,

и в виде ряда

для краевых условий .

Пример. Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

и краевым условиям .

□ Решение задачи Коши будем искать в виде

Таким образом,

Уравнение теплопроводности для стационарного случая

Распределение тепла в теле называют стационарным , если температура тела и зависит от положения точки М (х , у , z ), но не зависит от времени t , т.е.

и = и (М ) = и (х , у , z ).

В этом случае 0 и уравнение теплопроводности для стационарного случая обращается в уравнение Лапласа

которое часто записывают в виде .

Чтобы температура и в теле определялась однозначно из этого уравнения, нужно знать температуру на поверхности S тела. Таким образом, для уравнения (1) краевая задача формулируется следующим образом.

Найти функцию и , удовлетворяющую уравнению (1) внутри объема V и принимающую в каждой точке М поверхности S заданные значения

Эта задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения (1).

Если на поверхности тела температура неизвестна, а известен тепловой поток в каждой точке поверхности, который пропорционален , то на поверхности S вместо краевого условия (2) будем иметь условие

Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющего краевому условию (3), называется задачей Неймана или второй краевой задачей .

Для плоских фигур уравнение Лапласа записывается в виде

Такой же вид имеет уравнение Лапласа и для пространства, если и не зависит от координаты z , т.е. и (М ) сохраняет постоянное значение при перемещении точки М по прямой, параллельной оси Oz .

Заменой , уравнение (4) можно преобразовать к полярным координатам

С уравнением Лапласа связано понятие гармонической функции. Функция называется гармонической в области D , если в этой области она непрерывна вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Пример. Найти стационарное распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на концах стержня , .

□ Имеем одномерный случай. Требуется найти функцию и , удовлетворяющую уравнению и краевым условиям , . Общее уравнение указанного уравнения имеет вид . Учитывая краевые условия, получим

Таким образом, распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью линейно. ■

Задача Дирихле для круга

Пусть дан круг радиуса R с центром в полюсе О полярной системы координат. Надо найти функцию , гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию , где − заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа

Используя метод Фурье, можно получить

− интеграл Пуассона.

Пример. Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиуса R , верхняя половина поддерживается при температуре , а нижняя – при температуре .

□ Если , то , а если , то . Распределение температуры выражается интегралом

Пусть точка расположеиа в верхнем полукруге, т.е. ; тогда изменяется от до , и этот интервал длины не содержит точек . Поэтому введем подстановку , откуда , . Тогда получим

Так правая часть отрицательна, то и при удовлетворяет неравенствам . Для этого случая получаем решение

Если же точка расположена в нижнем полукруге, т.е. , то интервал изменения содержит точку , но не содержит 0, и можно сделать подстановку , откуда , , Тогда для этих значений имеем

Проведя аналогичные преобразования, найдем

Так как правая часть теперь положительна , то . ■

Метод конечных разностей для решения уравнения теплопроводности

Пусть требуется найти решение уравнения

удовлетворяющее:

начальному условию

и краевым условиям

Итак, требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), (4), т.е. требуется найти решение в прямоугольнике, ограниченном прямыми , , , , если заданы значения искомой функции на трех его сторонах , , .

Построим прямоугольную сетку, образованную прямыми

− шаг вдоль оси Ох ;

− шаг вдоль оси Оt .

Введем обозначения:

Из понятия конечных разностей можно записать

аналогично

Учитывая формулы (6), (7) и введенные обозначения, запишем уравнение (1) в виде

Отсюда получим расчетную формулу

Из (8) следует, что если известны три значения к k -ом слое сетки: , , , то можно определить значение в (k + 1)-ом слое.

Начальное условие (2) позволяет найти все значения на прямой ; краевые условия (3), (4) позволяют найти значения на прямых и . По формуле (8) находим значения во всех внутренних точках следующего слоя, т.е. для k = 1. Значения искомой функции в крайных точках известны из граничных условий (3), (4). Переходя от одного слоя сетки к другому, определяем значения искомого решения во всех узлах сетки. ;

с начальными условиями

и граничными условиями

Решение этой задачи будем искать в виде ряда Фурье по системе собственных функций (94)

т.е. в форме разложения

считая при этом t параметром.

Пусть функции f (x , t ) является непрерывной и имеет кусочно-непрерывную производную 1-го порядка по х и при всех t >0 выполняются условия

Предположим теперь, что функции f (x , t ) и
можно разложить в ряд Фурье по синусам

, (117)

(118)

, (119)

. (120)

Подставим (116) в уравнение (113) и с учетом (117), получим

.

Это равенство выполняется тогда, когда

, (121)

или, если
, то это уравнение (121) можно записать в виде

. (122)

Пользуясь начальным условием (114) с учетом (116), (117) и (119) получаем, что

. (123)

Таким образом, для нахождения искомой функции
приходим к задаче Коши (122), (123) для обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Пользуясь формулой Эйлера можно записать общее решение уравнения (122)

,

а с учетом (123) решение задачи Коши

.

Следовательно, когда мы подставим значение этой функции в выражение (116), в итоге получим решение исходной задачи

(124)

где функции f (x , t ) и
определены формулами (118) и (120).

Пример 14. Найти решение неоднородного уравнения параболического типа

при начальном условии

(14.2)

и граничных условиях

. (14.3)

▲ Подберем сначала такую функцию  , чтобы удовлетворяла граничным условиям (14.3). Пусть, например,  = xt 2 . Тогда

Следовательно, функция определяемая как

удовлетворяет уравнению

(14.5)

однородным граничным условиям

и нулевым начальным условиям

. (14.7)

Применяя метод Фурье для решения однородного уравнения

при условиях (14.6), (14.7), положим

.

Приходим к следующей задаче Штурма-Лиувилля:

,
.

Решая эту задачу, находим собственные значения

и соответствующие им собственные функции

. (14.8)

Решение задачи (14.5)-(14.7) ищем в виде ряда

, (14.9)

(14.10)

Подставив
из (14.9) в (14.5) получим

. (14.11)

Для нахождения функции T n (t ) разложим функцию (1-х ) в ряд Фурье по системе функций (14.8) на интервале (0,1):

. (14.12)

,

и из (14.11) и (14.12) получаем уравнение

, (14.13)

которое является обыкновенным неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его общее решение найдем по формуле Эйлера

а с учетом условия (14.10), найдем решение задачи Коши

. (14.14)

Из (14.4), (14.9) и (14.14) находим решение исходной задачи (14.1)- (14.3)

Задания для самостоятельной работы

Решить начально-краевые задачи

3.4. Задача Коши для уравнения теплопроводности

В первую очередь рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности.

удовлетворяющее

Начнем с того, что заменим переменные x и t на
и введем в рассмотрение функцию
. Тогда функции
будут удовлетворять уравнениям

где
- функция Грина, определяемая формулой

, (127)

и обладающая свойствами

; (130)

. (131)

Умножив первое уравнение на G * , а второе на и и затем сложив полученные результаты, получим равенство

. (132)

После интегрирования по частям равенства (132) по в пределах от -∞ до +∞ и пов пределах от 0 доt , получим

Если предполагать, что функция
и ее производнаяограничены при
, то в силу свойств (131) интеграл в правой части (133) равен нулю. Следовательно, можно записать

Заменив в этом равенстве на
, а
на
, получим соотношение

.

Отсюда, используя формулу (127) окончательно получим

. (135)

Формула (135) называется формулой Пуассона и определяет решение задачи Коши (125), (126) для однородного уравнения теплопроводности с неоднородным начальным условием.

Решение же задачи Коши для неоднородного уравнения теплопроводности

удовлетворяющее неоднородному начальному условию

представляет собой сумму решений:

где является решением задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности. , удовлетворяющее неоднородному начальному условию, аявляется решением, удовлетворяющее однородному начальному условию. Таким образом, решение задачи Коши (136), (137) определяется формулой

Пример 15. Найти решение уравнения

(15.1)

для следующего распределения температуры стержня:

▲ Стержень является бесконечным, поэтому решение можно записать, используя формулу (135)

.

Так как
в интервале
равна постоянной температуре, а вне этого интервала температура равна нулю, то решение принимает вид

. (15.3)

Полагая в (15.3)
, получим

.

Поскольку

представляет собой интеграл вероятностей, то окончательное решение исходной задачи (13.1), (13.2) можно выразить формулой

.▲

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при действии мгновенного сосредоточенного источника в неограниченной среде называется фундаментальным решением.

Мгновенный точечный источник

Для бесконечного тела, в начале координат которого действует мгновенный точечный источник, решение дифференциального уравнения теплопроводности следующее:

где T - температура точки с координатами x,y,z; Q - количество тепла, выделившееся в момент t = 0 в начале координат; t - время, прошедшее с момента введения тепла; R - расстояние от начала координат, где действует источник, до рассматриваемой точки (радиус - вектор). У равнение (4) является фундаментальным решением уравнения теплопроводности при действии мгновенного точечного источника в бесконечном теле.

В любой момент t ? 0 температура самого источника (R = 0) отлична от нуля и с течением времени уменьшается по закону t -3/2 , оставаясь выше температур других точек тела. Вместе с удалением от источника температура понижается по закону нормального распределения exp(-R 2 /4at). Изотермическими поверхностями являются сферы с центром в источнике, и температурное поле в данный момент времени зависит лишь от радиуса. В начальный момент времени (t = 0) температура не определена (T = ?), что связано со схемой сосредоточенного источника, в котором в бесконечно малом объеме в начальный момент времени содержится конечное количество тепла Q.

На основе решения для бесконечного тела (4) можно вывести уравнение температурного поля для схемы полубесконечного тела, которая применяется для описания тепловых процессов в массивных изделиях. Пусть в полубесконечном теле, ограниченном поверхность S - S действует мгновенный точечный источник Д (рис. 4). Для массивных тел тепловые потоки внутри значительно больше потока теплоотдачи с поверхности. Поэтому поверхность полубесконечного тела можно считать адиабатической границей, для которой (см.п. 1.4)

Дополним полубесконечную область z > 0 до бесконечной, дбавив область z < 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела

По такой же схеме моделируется и изотермическая граница (граничное условие 1-го рода) T S =0, но в этом случае T = T Д - T Ф. Следует подчеркнуть, что источник нагрева не может действовать на изотермической поверхности.

Графическое изображение температурного поля (6) требует четкого понимания пространственного положения поверхности, на которой строится распределение температуры. В декартовой системе координат (x, y, z) контрольными сечениями полубесконечного тела при действии точечного источника являются плоскости xy, xz и yz (рис. 5, а). Для полубесконечного тела изотермические поверхности являются полусферами (температура зависит от радиуса - вектора R). В плоскости xy изотермы, как сечение поверхности плоскостью

z=const, являются окружностями, а в других плоскостях - полуокружностями (рис. 5, б). Температурное поле мгновенного точечного источника в разные моменты времени представлено на рис. (6) (см. П 1.1.). На рисунке температура графически ограничена значением T=1000K|.

Температура в любой точке вне источника сначала возрастает, а затем убывает (рис.1.3). Момент достижения максимального значения температуры в данной точке найдется из условия

Дифференцируя выражение (6) по времени, получаем формулу для определения времени, когда температура максимальна

Максимальные темперы точек полубесконечного тела при действии точечного источника уменьшаются с расстоянием как R 3 .

Уравнение теплопроводности в однородной среде, как мы видели, имеет вид

Коэффициент внутренней теплопроводности, с - теплоемкость вещества и - плотность. Кроме уравнения (1), нужно иметь в виду начальное условие, дающее начальное распределение температуры и при

Если тело ограничено поверхностью (S), то на этой поверхности мы будем иметь и предельное условие, которое может быть различным, смотря по физическим обстоятельствам. Так, например, поверхность (S) может поддерживаться при определенной температуре, которая может и меняться с течением времени. В этом случае предельное условие сводится к заданию функции U на поверхности (S), причем эта заданная функция может зависеть и от времени t. Если температура поверхности не фиксирована, но имеется лучеиспускание в окружающую среду данной температуры то по закону Ньютона, правда, далеко не точному, поток тепла через поверхность (S) пропорционален разности температур окружающего пространства и поверхности тела (S). Это дает предельное условие вида

где коэффициент пропорциональности h называется коэффициентом внешней теплопроводности.

В случае распространения тепла в теле линейных размеров, т. е. в однородном стержне, который мы считаем расположенным вдоль оси вместо уравнения (1) мы будем иметь уравнение

При такой форме уравнения не учитывается, конечно, тепловой обмен между поверхностью стержня и окружающим пространством.

Уравнение (S) можно получить также из уравнения (1), предполагая U не зависящей от . Начальное условие в случае стержня