Урок "построение циркулем и линейкой". Построение с помощью циркуля и линейки Геометрические построения с помощью циркуля и линейки

Известная с античных времён.

В задачах на построение возможны следующие операции:

• Выбрать произвольную точку на плоскости, точку на одной из построенных линий или точку пересечения двух построенных линий.
• С помощью циркуля провести окружность с центром в построенной точке с радиусом, равным расстоянию между двух построенных точек.
• С помощью линейки провести прямую, проходящую через две построенные точки.

Простой пример

Задача. С помощью циркуля и линейки разбить данный отрезок AB на две равные части. Одно из решений показано на рисунке:

• Циркулем проводим окружность с центром в точке A радиусом AB .
• Проводим окружность с центром в точке B радиусом AB .
• Находим точки пересечения P и Q двух построенных окружностей.
• Линейкой проводим отрезок, соединяющий точки P и Q .
• Находим точку пересечения AB и PQ . Это - искомая середина отрезка AB .

Правильные многоугольники

Античным геометрам были известны способы построения правильных для n=2^k\,\! , 3\cdot 2^k , 5\cdot 2^k и 3\cdot5\cdot2^k .

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

• - разбить произвольный угол на три равные части.
• - построить отрезок, являющийся ребром куба в два раза большего объёма, чем куб с данным ребром.
• - построить квадрат, равный по площади данному кругу.

Построения одним циркулем и одной линейкой

По теореме Мора-Маскерони (Mohr–Mascheroni theorem) с помощью одного циркуля можно построить любую фигуру, которую можно построить циркулем и линейкой. При этом прямая считается построенной, если на ней заданы две точки.

Легко заметить, что с помощью одной линейки можно проводить только проективно-инвариантные построения (см., например, в теории поверхностей ).

В частности, невозможно даже разбить отрезок на две равные части. Но при наличии на плоскости заранее проведённой окружности с отмеченным центром с помощью линейки можно провести те же построения, что и циркулем и линейкой (теорема Понселе-Штейнера (Poncelet-Steiner theorem), .

См.также

• - программа, позволяющая делать построения с помощью циркуля и линейки.

Литература

• А. Адлер. Теория геометрических построений, Перевод с немецкого Г. М. Фихтенгольца. Издание третье. Л., Учпедгиз, 1940 - 232 с.
• И. И. Александров, Сборник геометрических задач на построение, Издание восемнадцатое, М., Учпедгиз, 1950 - 176 с.
• Б. И. Аргунов, М Б Балк. Геометрические построения на плоскости, Пособие для студентов педагогических институтов. Издание второе. М., Учпедгиз, 1957 - 268 с.
• А. М. Воронец. Геометрия циркуля, Популярная библиотека по математике под общей редакцией Л.А.Люстерника, М.- Л., ОНТИ, 1934 - 40 с.
• Ю. И. Манин, О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки, Энциклопедия элементарной математики книга четвёртая (геометрия) , М., Физматгиз, 1963. - 568с.
• Ю. Петерсен. Методы и теории решения геометрических задач на построение, Москва, типография Э.Лисснера и Ю.Романа, 1892 - VIII + 114с.
• В. В. Прасолов Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга, М.: Наука, 1992. 80 с. Серия Популярные лекции по математике, выпуск 62
• Я. Штейнер, Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой линии и неподвижного круга, М., Учпедгиз, 1939 - 80 с.

Итак, я предлагаю поступить для построения угла 30 градусов при помощи циркуля и линейки следующим образом:

1) Сначала нам необходимо построить равносторонний треугольник, а именно он будет CFD

Перед этим мы циркулем строим две окружности одинакового диаметра, вторая окружность строится из точки В.

2) Теперь, CD делится пополам отрезком FО.

3) Значит угол CFD у нас получается равным 60 градусам

4) А в соответствии с этим наши углы CFO и DFO будут равны 30 градусам

Наш угол построен.

Очень часто на уроках геометрии у нас дается задание - нарисовать угол 30 градусов с помощью циркуля и линейки. Сделать это можно несколькими способами. Рассмотрим один из них.

С помощью линейки рисуем отрезок АВ.











При удалении помогших нам в постройке угла линий, получается долгожданный угол 30 градусов.



Чертим окружность любого радиуса. Затем выбираем точку на окружности и проводим еще окружность такого же радиуса.



обозначим точки. где пересекаются две окружности как C и D.



Теперь соединяем точки с помощью прямой.



Теперь построим равносторонний треугольник, у которого все углы будут равняться 60 градусов.



Теперь делим этот угол пополам, и у нас получается угол 30 градусов.



Построит угол в тридцать градусов, можно следующим способом.



Инструкция простая:

1) Сначала рисуете круг любого диаметра;

2) Рисуете еще один круг, точно такого же диаметра, а сторона второго круга, должна проходить через центр первого круга.

3) Строите треугольник FCD, как показано на рисунке вверху.

4) И теперь у вас есть два угла по тридцать градусов, это CFO и DFO.

Как вы видите это достаточно простой способ построения угла в тридцать градусов используя только линейку и циркуль. Научиться так строить углы может любой человек, причем ему не придется очень долго мучится, так как все просто. Удачи.

Построить угол в 30 градусов можно достаточно быстро, используя, согласно условию, циркуль и линейку.



Для начала рисуем две перпендикулярные прямые а и b, которые пересекаются в точке А.

Отмечаем в любом месте на прямой b точку B.

Строим окружность, где В центр, а 2АВ радиус.

О точка пересечения построенной окружности с прямой a.

Угол ВОА как раз и будет составлять тридцать градусов.

Что угол в 30 градусов, что в 60 градусов строится в прямоугольном треугольнике с углами 30 и 60 градусов.

1) Начинаем с окружности: из т.О проведм окружность произвольного радиуса ОА = ОВ.

3) Соединив точки А, С, В, получим искомый треугольник АВС с углами: lt; CAB = 60 гр. , lt; CBA = 30 гр.

Данное построение основано на свойстве катета АС,равного половине гипотенузы АВ, лежащего против угла lt; CBA = 30 градусов, соответственно, второй угол lt; САВ = 60 гр. Метод построения тоже простой.

• 1. Чертим две пересекающиеся окружности.
  2. Через центры окружностей проводим прямую линию.
  3. Отмечаем точки - вершины нашего равностороннего треугольника: точка пересечения прямой, соединяющей центры окружностей, с одной из окружностей; две точки пересечения окружностей.
  4. У равностороннего треугольника углы, как известно, равны 60 градусов.
  5. Ровно половину от 60 градусов получим, если возьмем угол, расположенный на прямой, соединяющей центры окружностей: она-то как раз и делит угол-вершину треугольника ровно пополам.

Для построения угла в 30 градусов с помощью линейки и циркуля предлагаю воспользоваться таким вариантом: сначала чертим ромб, а затем - его диагонали. Используя свойства ромба, можно утверждать, что угол ромба будет 30 градусов. Итак:

1. Чертим линию PQ
2. Ставим циркуль в точку Р, раздвигаем циркуль на произвольную ширину (например, до середины нашей линии) и чертим часть окружности. Точку, где она пересекается с линией, назовем S.
3. Ставим циркуль в точку S и чертим еще раз часть окружности, чтобы она пересеклась с предыдущей. Должно получиться так:



1. Точку, где пересеклись две части окружности назовем Т.
2. Циркулем из точки Т проводим еще одну часть окружности, получили точку R.
3. Соединяем линейкой точки Р - R, S-R, R-T, T-P, T-S, получаем ромб и, принимая вр внимание свойства ромба, получаем угол 30 градусов.





30 градусов - это половина от 60. Деление угла пополам знаете? Ну вот. А 60 градусов строится на раз. Отметьте точку и проведите окружность с центром в этой точке. Потом, не меняя раствор циркуля, проведите ещ такую же окружность, но с центром на первой окружности. Вот угол между радиусом, проведнным в новый центр, и точкой пересечения двух окружностей будет точнхонько 60 градусов.

На мой взгляд самый быстрый способ построить угол 30 градусов с помощью линейки и циркуля состоит в следующем:

проводим горизонтальную линию, ставим на нее в произвольной точке циркуль и проводим окружность. В точке, где окружность пересекла линию (например справа) опять ставим циркуль и проводим еще одну такую же окружность. Проводим линию через центр первой окружности и точку пересечения окружностей (красная линия) и проводим линию через точки пересечения окружностей (зеленая линия). Острый угол между красной и зеленой линиями равен 30 градусам.



Чтобы построить нужный нам угол, понадобилось всего пять движений.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №34 с углубленным изучением отдельных предметов

МАН, физико-математическая секция

«Геометрические построения с помощью циркуля и линейки»

Выполнила: ученица 7 «А» класса

Батищева Виктория

Руководитель: Колтовская В.В.

Воронеж, 2013

3. Построение угла равного данному.

Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла (рис.3). Пусть В и С - точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О-начальной точке данной полупрямой. Точку пересечения этой окружности с данной полупрямой обозначим С 1 . Опишем окружность с центром С 1 и Рис.3

радиусом ВС. Точка В 1 пересечения построенных окружностей в указанной полуплоскости лежит на стороне искомого угла.

6. Построение перпендикулярных прямых.

Проводим окружность с произвольным радиусом r с центром в точке O рис.6. Окружность пересекает прямую в точках A и B. Из точек A и B проводим окружности с радиусом AB. Пусть тоска С – точка пересечения этих окружностей. Точки А и В мы получили на первом шаге, при построении окружности с произвольным радиусом.

Искомая прямая проходит через точки С и О.

Рис.6

Известные задачи

1. Задача Брахмагупты

Построить вписанный четырехугольник по четырем его сторонам. Одно из решений использует окружность Аполлония. Решим задачу Аполлония, используя аналогию между трехокружником и треугольником. Как мы находим окружность, вписанную в треугольник: строим точку пересечения биссектрис, опускаем из нее перпендикуляры на стороны треугольника, основания перпендикуляров (точки пересечения перпендикуляра со стороной, на которую он опущен) и дают нам три точки, лежащие на искомой окружности. Проводим окружность через эти три точки – решение готово. Точно также мы поступим с задачей Аполлония.

2. Задача Аполлония

Построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но была восстановлена в 1600 г. Франсуа Виетом, «галльским Аполлонием», как его называли современники.

Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений.

Построение правильных многоугольников.

П

равильный (или равносторонний ) треугольник - это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, а все углы равны 60°. Чтобы построить равносторонний треугольник нужно разделить окружность на 3 равные части. Для этого необходимо провести дугу радиусом R этой окружности лишь из одного конца диаметра, получим первое и второе деление. Третье деление находится на противоположном конце диаметра. Соединив эти точки, получим равносторонний треугольник.

Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения через деление окружности на 6 частей. Используем равенство сторон правильного шестиугольника радиусу описанной окружности. Из противоположных концов одного из диаметров окружности описываем дуги радиусом R. Точки пересечения этих дуг с заданной окружностью разделят её на 6 равных частей. Последовательно соединив найденные точки, получают правильный шестиугольник.

Построение правильного пятиугольника.

П
равильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки, или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O . (Это зелёная окружность на схеме справа).

Выберите на окружности точку A , которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A .

Постройте прямую перпендикулярно прямой OA , проходящую через точку O . Обозначьте одно её пересечение с окружностью, как точку B .

Постройте точку C посередине между O и B .

C через точку A . Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D .

Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F .

Проведите окружность с центром в E через точку A G .

Проведите окружность с центром в F через точку A . Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H .

Постройте правильный пятиугольник AEGHF .

Неразрешимые задачи

Следующие три задачи на построение были поставлены ещё в античности:

Трисекция угла - разбить произвольный угол на три равные части.

Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла - лучи, делящие угол на три равные части. П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что задача разрешима только тогда, когда например, трисекция осуществима для углов α = 360°/n при условии, что целое число n не делится на 3. Тем не менее, в прессе время от времени публикуются (неверные) способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

Удвоение куба - классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.

В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной . П. Ванцель доказал в 1837 году, что эта задача не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Квадратура круга - задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу .

Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π, которая была доказана в 1882 году Линдеманом.

Другая известная неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача - построение треугольника по трём заданным длинам биссектрис .

Причём эта задача остаётся неразрешимой даже при наличии трисектора.

Только в XIX веке было доказано, что все три задачи неразрешимы при использовании только циркуля и линейки. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа.

А ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ, ЧТО...

(из истории геометрических построений)

Когда-то в построение правильных многоугольников вкладывали мистический смысл.

Так, пифагорейцы, последователи религиозно-философского учения, основанного Пифагором, и жившие в древней Греции (V I-I V вв. до н. э.), приняли в качестве знака своего союза звездчатый многоугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника.

Правила строгого геометрического построения некоторых правильных многоугольников изложены в книге «Начала» древнегреческого математика Евклида, жившего в III в. до н.э. Для выполнения этих построений Евклид предлагал пользоваться только линейкой и циркулем, который в то время был без шарнирного устройства соединения ножек (такое ограничение в инструментах было непреложным требованием античной математики).

Правильные многоугольники нашли широкое применение и в античной астрономии. Если Евклида построение этих фигур интересовало с точки зрения математики, то для древнегреческого астронома Клавдия Птолемея (около 90 - 160 г. н. э.) оно оказалось необходимым как вспомогательное средство при решении астрономических задач. Так, в 1-й книге «Альмагесты» вся десятая глава посвящена построению правильных пяти- и десятиугольников.

Однако помимо чисто научных трудов, построение правильных многоугольников было неотъемлемой частью книг для строителей, ремесленников, художников. Умение изображать эти фигуры издавна требовалось и в архитектуре, и в ювелирном деле, и в изобразительном искусстве.

В «Десяти книгах о зодчестве» римского архитектора Витрувия (жившего примерно в 63 -14 гг. до н. э.) говорится, что городские стены должны иметь в плане вид правильного многоугольника, а башни крепости «следует делать круглыми или многоугольными, ибо четырехугольник скорее разрушается осадными орудиями».

Планировка городов очень интересовала Витрувия, который считал, что нужно спланировать улицы так, чтобы вдоль них не дули основные ветры. Предполагалось, что таких ветров восемь и что они дуют в определенных направлениях.

В эпоху Возрождения построение правильных многоугольников, и в частности пятиугольника, представляло не простую математическую игру, а являлось необходимой предпосылкой для построения крепостей.

Правильный шестиугольник явился предметом специального исследования великого немецкого астронома и математика Иоганна Кеплера (1571-1630), о котором он рассказывает в своей книге «Новогодний подарок, или о шестиугольных снежинках». Рассуждал о причинах того, почему снежинки имеют шестиугольную форму, он отмечает, в частности, следующее: «...плоскость можно покрыть без зазоров лишь следующими фигурами: равносторонними треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками. Среди этих фигур правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь»

0дним из наиболее известных ученых, занимавшихся геометрическими построениями, был великий немецкий художник и математик Альбрехт Дюрер (1471 -1528), который посвятил им значительную часть своей книги «Руководства...». Он предложил правила построения правильных многоугольников с 3. 4, 5... 16-ю сторонами. Методы деления окружности, предложенные Дюрером, не универсальны, в каждом конкретном случае используется индивидуальный прием.

Дюрер применял методы построения правильных многоугольников в художественной практике, например, при создании разного рода орнаментов и узоров для паркета. Наброски таких узоров были сделаны им во время поездки в Нидерланды, где паркетные полы встречались во многих домах.

Дюрер составлял орнаменты из правильных многоугольников, которые соединены в кольца (кольца из шести равносторонних треугольников, четырех четырехугольников, трех или шести шестиугольников, четырнадцати семиугольников, четырех восьмиугольников).

Заключение

Итак, геометрические построения - это способ решения задачи, при котором ответ получают графическим путем. Построения выполняют чертежными инструментами при максимальной точности и аккуратности работы, так как от этого зависит правильность решения.

Благодаря этой работе я познакомилась с историей возникновения циркуля, подробнее познакомилась с правилами выполнения геометрических построений, получила новые знания и применила их на практике.
Решение задач на построение циркулем и линейкой – полезное времяпровождение, позволяющее по-новому посмотреть на известные свойства геометрических фигур и их элементов. В данной работе рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями с помощью циркуля и линейки. Рассмотрены основные задачи и даны их решения. Приведенные задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии и могут использоваться для практических работ.
Таким образом, цель работы достигнута, поставленные задачи выполнены.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Учебник: Геометрия, 7-9: учебник для общеобразовательных учреждений / (Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.) – 16 изд. – М.: Просвещение, 2011.

Цели урока:

1. дать представление о новом классе задач на построение;
2. рассмотреть наиболее простые задачи на построение;
3. научить учащихся решать такие задачи.

Задачи:

Образовательный аспект:

• дать представление о новом классе задач – построение геометрических с помощью циркуля и линейки без масштабных делений;
• формировать практические умения работы;
• расширить знания об истории геометрии.

Развивающий аспект:

• развитие навыков самоконтроля;
• формирование ИКТ – компетентности;
• формирование логического мышления.

Воспитательный аспект:

• воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при изучении темы;
• воспитание интереса к истории математики, как науки.

Тип урока: комбинированный.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, коллективная.

Этапы урока:

• подготовка к активной учебной деятельности;
• применение знаний;
• подведение итогов и рефлексия;
• информация о домашнем задании.

Оборудование:

• Учебное пособие, тетрадь, карандаш, авторучка, линейка, циркуль, раздаточный материал (КИМ);
• Компьютер, с минимальными техническими требованиями: Windows 95/98/ME/NT/2000/XP, 7.
• Муьтимедийный проектор, экран.

Ресурсы урока:

• тестовые задания (КИМ) приложение 1 ;
• презентация;
• оценка степени усвоения материала приложение 3 .

План урока:

№	Этап урока	Цель урока	Время
1.	Организационный момент(слайды 1-2)	Сообщение темы урока;Постановка цели урока;Сообщение этапов урока.	2 мин.
2.	Повторение. Проверка домашнего задания.(слайд 3)	Проверка теоретических знаний учащихся по теме окружность при выполнении теста.	5 мин.
3.	Подготовка учащихся к восприятию нового материала.(слайды 4-8)	Актуализация опорных знаний	10 мин.
4.	Изучение нового материала(слайды 9-19)	Отработка навыков решения простейших задач на построение циркулем и линейкой, рассмотренных в учебнике.	25 мин.
5.	Итог урока.	Подведение итогов урока.	2 мин.
6.	Домашнее задание.(слайд 20)	Инструктаж по домашнему заданию.	1 мин.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент:

Тема сегодняшнего урока - «Примеры задач на построение» (слайд 1).

Цель урока – рассмотреть наиболее простые задачи на построение, которые решаются только с помощью циркуля и линейки без делений; научиться решать их (слайд 2).

2. Повторение. Проверка домашнего задания:

Мы с вами изучили тему « Окружность» и сегодня проверим с помощью теста ваши знания. Выполнить задание теста (каждому раздаются КИМы с тестовым заданием). Для каждого вопроса выберите правильный вариант ответа. Самостоятельно оцените свои знания, подсчитав количество верных ответов. Если верных ответов 6 - оценка «5», если верных ответов 5 – оценка «4», если верных ответов 4 – оценка «3», меньшее количество верных ответов – оценка « 2».

(Верные ответы на слайде 3 презентации).

3. Подготовка учащихся к восприятию нового материала:

Вводная беседа учителя:

Мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры с помощью различных инструментов. При построении отрезка заданной длины использовалась линейка с миллиметровыми делениями, а при построении угла заданной градусной меры – транспортир.

В домашней работе у вас была такая задача:

Начертите треугольник АВС такой, что АВ = 3,6 см, АС = 2,7 см, А = 48°. Какие инст рументы вы использовали для решения этой задачи?

Итак, мы использовали линейку с миллиметровыми делениями и транспортир. Но есть такие задачи, в которых бывает оговорено, с помощью каких инструментов нужно построить предлагаемую геометрическую фигуру (слайд 4-5).

Задача 1. С помощью циркуля и линейки без делений на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. Чертёж на экране.

(Учащиеся предлагают варианты решений).

А теперь проверим ваше решение (см. слайд 6)

Таким образом, многие построения в геометрии могут быть выполнены с помощью только циркуля и линейки без делений (слайд 7).

В дальнейшем, говоря о задачах на построение, мы будем иметь в виду именно такие построения.

Задачи на построение циркулем и линейкой являются традиционным материалом, изучаемым в курсе планиметрии. Обычно эти задачи решаются по схеме, состоящей из четырех частей (посмотреть с. 95–96 учебника). Сначала рисуют (чертят) искомую фигуру и устанавливают связи между данными задачи и искомыми элементами. Эта часть решения называется анализом . Она дает возможность составить план решения задачи.

Затем по намеченному плану выполняется построение циркулем и линейкой.

После этого нужно доказать , что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

И наконец, необходимо исследовать , при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько решений.

В тех случаях, когда задача достаточно простая, отдельные части, например анализ или исследование, можно опустить (слайд 8).

В VII классе мы решим простейшие задачи на построение циркулем и линейкой, в других классах будем решать более сложные задачи.

4. Изучение нового материала:

И так, наша задача – выполнить задачи на построение только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений.

Что можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку (слайд 9).

Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных задач на построение (слайд 10):

1. На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
2. Отложить от данного луча угол, равный данному.
3. Построить биссектрису данного неразвернутого угла.
4. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к прямой, на которой лежит данная точка.
5. Построить середину данного отрезка.

Мы уже решили задачу № 1.

Теперь с помощью компьютера рассмотрим решение задачи № 2. Выполняйте соответствующие построения в тетради (слайды 11-12).

А теперь рассмотрим задачи № 3 – 5 (слайд 13-18).

(выполняются соответствующие построения и описания задач в тетради)

После выполнения работы, учитель обращает внимание учащихся на то, что такие задачи рассматривались в древности (слайд 19).

А теперь обратимся к истории геометрии. Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки. Они доказали, что угол можно разделить и на четыре равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем построить биссектрису каждой половинки. А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить угол на три равные части? Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла, в течение многих веков привлекала внимание математиков. Однако она не поддавались их усилиям. Лишь в прошлом веке было доказано, что для произвольного угла такое построение невозможно.

Есть и другие задачи на построение, про которые известно, что они неразрешимы с помощью циркуля и линейки. Я предлагаю вам самостоятельно найти материал, содержащий информацию для ознакомления с этими задачами.

5. Подведение итогов урока:

Мы изучили много нового, узнали какие задачи можно решить только с помощью циркуля и линейки. У вас у каждого лежит лист с вопросами. Оцените свою работу на сегодняшнем уроке, выбрав один из предложенных вариантов ответа.

1. Оцените степень сложности урока. Вам было на уроке:
   • легко;
   • обычно;
   • трудно
2. Оцените степень вашего усвоения материала:
   • усвоил полностью, могу применить;
   • усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;
   • усвоил частично;
   • не усвоил.

Собрать листочки для оценки степени усвоения материала сегодняшнего урока, чтобы на следующем уроке правильно организовать работу. Сообщаются оценки за урок, включая оценки за тест по теме « Окружность».

6. Домашнее задание:

• ответить на вопросы 17–21 на стр. 50;
• решить задачи №№ 153, 154 (слайд 20).

Если вполне естественно, что с допущением большего разнообразия инструментов оказывается возможным решать более обширное множество задач на построение, то можно было бы предвидеть, что, напротив, при ограничениях, налагаемых на инструменты, класс разрешимых задач будет суживаться. Тем более замечательным нужно считать открытие, сделанное итальянцем Маскерони (1750-1800): все геометрические построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, могут быть выполнены с помощью одного только циркуля. Следует, конечно, оговорить, что провести на самом деле прямую линию через две данные точки без линейки невозможно, так что это основное построение не покрывается теорией Маскерони. Вместо того приходится считать, что прямая задана, если заданы две ее точки. Но с помощью одного лишь циркуля удается найти точку пересечения двух прямых, заданных таким образом, или точку пересечения прямой с окружностью.

Вероятно, простейшим примером построения Маскерони является удвоение данного отрезка Решение было уже дано на стр. 185. Далее, на стр. 186 мы научились делить данный отрезок пополам. Посмотрим теперь, как разделить пополам дугу окружности с центром О. Вот описание этого построения. Радиусом проводим две дуги с центрами От точки О откладываем на этих дугах две такие дуги и что Затем находим точку пересечения дуги с центром Р и радиусом и дуги с центром и радиусом Наконец, взяв в качестве радиуса отрезок опишем дугу с центром Р или до пересечения с дугой точка пересечения и является искомой средней точкой дуги Доказательство предоставляем читателю в качестве упражнения.

Рис. 48. Пересечение окружности и прямой, не проходящей через центр

Было бы невозможно доказать основное утверждение Маскерони, указывая для каждого построения, выполнимого с помощью циркуля и линейки, как его можно выполнить с помощью одного циркуля: ведь возможных построений бесчисленное множество. Но мы достигнем той же цели, если установим, что каждое из следующих основных построений выполнимо с помощью одного циркуля:

1. Провести окружность, если заданы центр и радиус.

2. Найти точки пересечения двух окружностей.

3. Найти точки пересечения прямой и окружности.

4. Найти точку пересечения двух прямых.

Любое геометрическое построение (в обычном смысле, с допущением циркуля и линейки) составляется из выполнения конечной последовательности этих элементарных построений. Что первые два из них выполнимы с помощью одного циркуля, ясно непосредственно. Более трудные построения 3 и 4 выполняются с использованием свойств инверсии, рассмотренных в предыдущем пункте.

Обратимся к построению 3: найдем точки пересечения данной окружности С с прямой, проходящей через данные точки Проведем дуги с центрами и радиусами, соответственно равными и кроме точки О, они пересекутся в точке Р. Затем построим точку обратную точке Р относительно окружности С (см. построение, описанное на стр. 186). Наконец, проведем окружность с центром и радиусом (она непременно пересечется с С): его точки пересечения с окружностью С и будут искомыми. Для доказательства достаточно установить, что каждая из точек находится на одинаковых расстояниях от (что касается точек то аналогичное их свойство сразу вытекает из построения). Действительно, Достаточно сослаться на то обстоятельство, что точка, обратная точке отстоит от точек на расстояние, равное радиусу окружности С (см. стр. 184). Стоит отметить, что окружность, проходящая через точки является обратной прямой в инверсии относительно круга С, так как эта окружность и прямая пересекаются

Рис. 49. Пересечение окружности и прямой, проходящей через центр

с С в одних и тех же точках. (При инверсии точки основной окружности остаются неподвижными.)

Указанное построение невыполнимо только в том случае, если прямая проходит через центр С. Но тогда точки пересечения могут быть найдены посредством построения, описанного на стр. 188, как получающихся, когда мы проводим произвольную окружность с центром В, пересекающуюся с С в точках Метод проведения окружности, обратной прямой, соединяющей две данные точки, немедленно дает и построение, решающее задачу 4. Пусть прямые даны точками (рис. 50).

Рис. 50. Пересечение двух прямых

Проведем произвольную окружность С и с помощью указанного выше метода построим окружности, обратные прямым и Эти окружности пересекаются в точке О и еще в одной точке Точка X, обратная точке и есть искомая точка пересечения: как ее построить - уже было разъяснено выше. Что X есть искомая точка, это ясно из того факта, что есть единственная точка, обратная точке, одновременно принадлежащей обеим прямым и следовательно, точка X, обратная должна лежать одновременно и на и на

Этими двумя построениями заканчивается доказательство эквивалентности между построениями Маскерони, при которых разрешается пользоваться только циркулем, и обыкновенными геометрическими построениями с циркулем и линейкой.

Мы не заботились об изяществе решения отдельных проблем, нами здесь рассмотренных, так как нашей целью было выяснить внутренний смысл построений Маскерони. Но в качестве примера мы еще укажем построение правильного пятиугольника; точнее говоря, речь идет о нахождении каких-то пяти точек на окружности, которые могут служить вершинами правильного вписанного пятиугольника.

Пусть А - произвольная точка на окружности К. Так как сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу круга, то не представит труда отложить на К такие точки что