Доказать что плоскость перпендикулярна прямой. Признак перпендикулярности прямой и плоскости: теория и практика

Презентация на тему: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

1 из 24

Презентация на тему: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

№ слайда 1

Описание слайда:

№ слайда 2

Описание слайда:

Цели урока: Материалы этого урока знакомят с признаком перпендикулярности прямой и плоскости и свойствами перпендикулярных прямой и плоскости. Окружающий нас мир дает много примеров перпендикулярности прямой и плоскости. Правильно установленный вертикальный столб перпендикулярен к плоскости земли. Линии пересечения стен комнаты перпендикулярны к плоскости пола. При строительстве зданий при установке столбов для их устойчивости очень важно обеспечить перпендикулярность к поверхности земли. Для этого существуют специальные способы проверки перпендикулярности, основанные на признаке перпендикулярности прямой и плоскости и свойствах перпендикулярных прямой и плоскости, которые мы и будем изучать. Изучив материалы предыдущего урока, вы познакомились с определением и свойствами перпендикулярных прямых, с определением прямой перпендикулярной к плоскости. Повторите еще раз эти материалы. Это поможет вам правильно ответить на вопросы теста, проверяющего ваши знания по теме «Перпендикулярные прямые».

№ слайда 3

Описание слайда:

Перпендикулярные прямые Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900. Для обозначения перпендикулярности используется знак ┴. На рисунке прямая m перпендикулярна прямой n или m┴n. Лемма о перпендикулярных прямых Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Символически эту лемму можно записать так

№ слайда 4

Описание слайда:

Прямая, перпендикулярная к плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой на этой плоскости. Для обозначения перпендикулярности используется знак ┴. На рисунке изображена прямая а, перпендикулярная плоскости a или а┴α.

№ слайда 5

Описание слайда:

Теорема о двух параллельных прямых и плоскости Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Символически эту теорему можно записать так Теорема о двух прямых, перпендикулярных к плоскости Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны друг другу. Символически эту теорему можно записать так

№ слайда 6

Описание слайда:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Наверное, каждому приходилось вкапывать штанги футбольных ворот. До перекладины порой и не доходило. Как важно при этом было так установить штангу так, чтобы она была перпендикулярна поверхности земли. Если использовать определение перпендикулярности прямой к плоскости, то тогда следует проверять перпендикулярность штанги к каждой прямой на футбольном поле. А нельзя ли ограничиться меньшим числом проверок? Оказывается можно. Но одной проверки явно недостаточно. Если данная прямая перпендикулярна только к одной прямой на плоскости, то она не перпендикулярна к самой плоскости (рис.3). Она может и лежать в этой плоскости. Если же прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости (рис.4). Это утверждение называется признаком перпендикулярности прямой и плоскости и формулируется в виде теоремы. Таким образом, чтобы установить штангу ворот перпендикулярно плоскости поля достаточно проверить ее перпендикулярность, посмотрев на нее с двух разных, но не противоположных сторон.

№ слайда 7

Описание слайда:

Теорема Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Пусть b┴q; b┴p; p a; q a; p ∩ q=O. Докажем, что b┴a. Для этого нужно доказать, что прямая b перпендикулярна к любой (произвольной) прямой m на плоскости a. Рассмотрим сначала случай, когда прямая b проходит через точку пересечения О. Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m. Отметим на прямой b точки А и В, равноудаленные от точки O, и проведем в плоскости a прямую, пересекающую прямые p, l и q соответственно в точках P, L и Q. Так как прямые p и q – серединные перпендикуляры, то АР=ВР и AQ=BQ. Следовательно, ∆APQ=∆BPQ (по трем сторонам). Тогда APL= BPL и ∆ APL= ∆ BPL (по двум сторонам и углу). Тогда AL=BL. Следовательно, ∆ALB – равнобедренный, отрезок LO является медианой и высотой в этом треугольнике, AОL=900 и b┴l. Поскольку l || m, то b┴m (по лемме о перпендикулярных прямых), то есть b┴a.

№ слайда 8

Описание слайда:

Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О, но а┴q; а┴p. Проведем через точку О прямую, параллельную прямой а. Эта прямая перпендикулярна прямым p и q (по лемме о перпендикулярных прямых) и, следовательно, совпадает с прямой b. Поскольку b┴a и b||a, то а┴a (по теореме о двух параллельных прямых и плоскости). Теорема доказана. Символически эту теорему можно записать так Докажем две теоремы, обосновывающие существование плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой и существование прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости. При доказательстве этих теорем будет использован признак перпендикулярности прямой и плоскости.

№ слайда 9

Описание слайда:

Плоскость, перпендикулярная прямой Теорема Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой и притом только одна. Обозначим данную прямую буквой а, а произвольную точку пространства – буквой М. 1. Докажем существование плоскости, перпендикулярной прямой а и проходящей через точку М. Проведем через прямую а две плоскости и так, чтобы плоскость проходила через точку М.. В плоскости проведем через точку М прямую р, перпендикулярную прямой а и пересекающую ее в точке А. В плоскости проведем прямую q, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку А. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые p и q. Эта плоскость перпендикулярна прямой а (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) и проходит через произвольную точку М. Следовательно, это искомая плоскость. Существование доказано.

№ слайда 10

Описание слайда:

2. Докажем единственность такой плоскости. Проведем доказательство от противного. Пусть существуют две плоскости и, проходящие через точку М и перпендикулярные прямой а. Но тогда || . Но плоскости и не могут быть параллельными друг другу, так как имеют общую точку М. Следовательно наше предположение неверно и существует только одна плоскость, проходящая через произвольную точку пространства перпендикулярно данной прямой. Единственность доказана.

№ слайда 11

Описание слайда:

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости и притом только одна. Обозначим данную плоскость буквой a, а произвольную точку пространства – буквой М. 1. Докажем существование прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку М. Проведем в плоскости прямую b. Через точку М проведем плоскость, перпендикулярную прямой b (это мы можем сделать на основании предыдущей теоремы о плоскости перпендикулярной прямой). Пусть с –общая прямая плоскостей и. Проведем в плоскости через точку М прямую а, перпендикулярную прямой с. Тогда прямая а перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости. Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости a (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Следовательно, а - искомая прямая. Существование доказано.

№ слайда 12

Описание слайда:

2. Докажем единственность такой прямой. Проведем доказательство от противного. Пусть существует две прямые а и а1, проходящие через точку М и перпендикулярные плоскости a. Но тогда а||а1 (см. теорему о двух прямых, перпендикулярных к плоскости). Но прямые а и а1 не могут быть параллельными друг другу, так как имеют общую точку М. Следовательно наше предположение неверно и существует только одна прямая, проходящая через произвольную точку пространства перпендикулярно данной плоскости. Единственность доказана.

№ слайда 13

Описание слайда:

Примеры задач на доказательство. Примеры задач на вычисленияДано: плоскость (АВС), МВ┴АВ, МВ┴ВС, D(АВС). Доказать:∆MBD - прямоугольный. Доказательство. МВ┴АВ, МВ┴ВС. Следовательно, МВ┴(АВС) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Тогда МВ┴BD (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости). Следовательно, DBM=900 и ∆MBD – прямоугольный, что и требовалось доказать.

№ слайда 14

Описание слайда:

Дано: АВСD - квадрат, МА┴, АВСD . Доказать: BD┴МО. Доказательство. МА┴, следовательно, МА┴ВD (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости). ВD┴АО (по свойству квадрата). Тогда ВD┴(АОМ) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости – BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и МА, лежащим в этой плоскости). Следовательно, BD┴МО (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости), что и требовалось доказать.

Описание слайда:

Проверь себя. Перпендикулярные прямые Перед Вами записаны предложения, разбитые на две части. Подумайте, какой из вариантов нужно выбрать, чтобы получилось верное предложение. Введите номер выбранного варианта. Если две прямые параллельны третьей прямой, то все три прямые всегда лежат в одной плоскости. то они скрещиваются друг с другом. то они параллельны друг другу. то они перпендикулярны друг к другу.

№ слайда 19

Описание слайда:

Проверь себя. Перпендикулярные прямые Перед Вами записаны предложения, разбитые на две части. Подумайте, какой из вариантов нужно выбрать, чтобы получилось верное предложение. Введите номер выбранного варианта. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей то она принадлежит другой плоскости. то другая плоскость не перпендикулярна данной прямой. то она перпендикулярна и другой плоскости. то она всегда параллельна другой плоскости.

Описание слайда:

№ слайда 24

Описание слайда:

Домашнее задание: Л.С.Атанасян и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы. 1. Упражнение 129 б) Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что МО^MD. 2. Упражнение 131 В тетраэдре ABCD точка М – середина ребра ВС, АВ=АС, DB=DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС. 3. Упражнение 134 Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной прямой а. 4. Упражнение 137 Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

Закрепим понятие перпендикулярности прямой и плоскости конспектом урока. Предоставим общее определение, сформулируем и приведём доказательства теоремы и решим несколько задач на закрепление материала.

Из курса геометрии известно: две прямые считаются перпендикулярными, когда они пересекаются под углом 90 о.

Вконтакте

Одноклассники

Теоретическая часть

Переходя к исследованию характеристик пространственных фигур, будем применять новое понятие.

Определение:

прямая будет называться перпендикулярной плоскости, когда она перпендикулярна прямой на поверхности, произвольно проходящей через точку пересечения.

Иначе говоря, если отрезок «АВ» перпендикулярен плоскости α, тогда угол пересечения со всяким отрезком, проведённым по данной поверхности через «С» точку прохождения «АВ» через плоскость α, будет 90 о.

Из вышесказанного вытекает теорема о признаке перпендикулярности прямой и плоскости:

в случае если прямая, проведённая через плоскость, будет перпендикулярна двум прямым, проведённым на плоскости через точку пересечения, то она перпендикулярна целой плоскости.

Говоря другими словами, если на рисунке 1 углы ACD и ACE равны 90 о, то и угол ACF тоже будет 90 о. Смотреть рисунок 3.

Доказательство

По условиям теоремы линия «а» проведена перпендикулярно линиям d и e. Иначе говоря, углы ACD и ACE равны 90 о. Приводить доказательства будем, исходя из свойств равенства треугольников. Смотреть рисунок 3.

Через точку C прохождения линии a через плоскость α прочертим линию f в произвольном направлении. Приведём доказательства, что она будет перпендикулярна отрезку AB или угол ACF будет 90 о.

На прямой a отложим отрезки одинаковой длины AC и AB. На поверхности α проведём линию x в произвольном направлении и не проходящую через место пересечения в точке «С». Линия «х» должна пересекать линии e, d и f.

Соединим прямыми точки F, D и E c точками A и B.

Рассмотрим два треугольника ACE и BCE. По условиям построения:

1. Имеются две одинаковые стороны AC и BC.
2. У них дна общая сторона CE.
3. Два равных угла ACE и BCE — по 90 о.

Следовательно, по условиям равенства треугольников, если имеем две равные стороны и одинаковый угол между ними, то эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует, что стороны AE и BE равны.

Соответственно доказывается равенство треугольников ACD и BCD, иначе говоря, равенство сторон AD и BD.

Теперь рассмотрим два треугольника AED и BED. Из ранее доказанного равенства треугольников следует, что у этих фигур есть одинаковые стороны AE с BE и AD с BD. Одна сторона ED общая. Из условия равенства треугольников, определённых по трём сторонам, следует, что углы ADE и BDE равны.

Сумма углов ADE и ADF составляет 180 о. Сумма углов BDE и BDF также будет 180 о. Так как углы ADE и BDE равны, то и углы ADF и BDF равны.

Рассмотрим два треугольника ADF и BDF. Они имеют по две равных стороны AD и BD (доказано ранее), DF общую сторону и по равному углу между ними ADF и BDF. Следовательно, эти треугольники имеют одинаковые по длине стороны. То есть сторона BF имеет ту же длину, что и сторона AF.

Если рассматривать треугольник AFB, то он будет равнобедренный (AF равняется BF), а прямая FC является медианой, так как по условиям построения сторона AC равняется стороне BC. Следовательно, угол ACF равняется 90 о. Что и следовало доказать.

Важным следствием из приведённой теоремы будет утверждение:

если две параллельные пересекают плоскость и одна из них составляет угол 90 о, то и вторая походит через плоскость под углом 90 о.

По условиям задачи a и b являются параллельными. Смотреть рисунок 4. Линия a перпендикулярна поверхности α. Отсюда следует, что линия b будет также перпендикулярна поверхности α.

Для доказательства через две точки пересечения параллельных прямых с плоскостью проведём на поверхности прямую c . По теореме о прямой, перпендикулярной плоскости, угол DAB будет 90 о. Из свойств параллельных прямых следует, что угол ABF тоже будет 90 о. Следовательно, по определению прямая b будет перпендикулярна поверхности α.

Использование теоремы для решения задач

Для закрепления материала, используя основополагающие условия перпендикулярности прямой и плоскости, решим несколько задач.

Задача № 1

Условия. Из точки A построить перпендикулярную линию плоскости α. Смотреть рисунок 5.

На поверхности α проведём произвольную прямую b. Через прямую b и точку A построим поверхность β. Из точки A на линию b проведём отрезок AB. Из точки B на поверхности α проведём перпендикулярную линию c .

Из точки A на линию с опустим перпендикуляр AC. Докажем, что эта линия будет перпендикулярна плоскости.

Для доказательства через точку C на поверхности α проведём линиюd, параллельную b, и через линию c и точку A построим плоскость. Линия AC перпендикулярна линии c по условию построения и перпендикулярна линии d, как следствие о двух параллельных линиях из теоремы о перпендикулярности, так как по условию линияb перпендикулярна поверхности γ.

Следовательно, по определению перпендикулярности линии и плоскости, построенный отрезок AC перпендикулярен поверхности α.

Задача № 2

Условия. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости α. Треугольник BDF расположен на поверхности α и имеет следующие параметры:

• угол DBF будет 90 о
• сторона BD =12 см;
• сторона BF =16 см;
• BC - медиана.

Смотреть рисунок 6.

Найти длину отрезка АС, если АВ = 24 см.

Решение. По теореме Пифагора, гипотенуза или сторона DF равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Длина BD в квадрате равна 144 и, соответственно, BC в квадрате будет 256. В сумме 400; извлекая квадратный корень, получаем 20.

Медиана BC в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу на две равные части и по длине равна этим отрезкам, то есть ВС = DC = CF = 10.

Снова используется теорема Пифагора, и получаем: гипотенуза C = 26, что является квадратным корнем из 675, суммы квадратов катетов 576 (АВ = 24 в квадрате) и 100 (ВС = 10 в квадрате).

Ответ: Длина отрезка АС равняется 26 см.

В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.

Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых , так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.

Определение.

Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.

Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости , то можно кратко записать .

В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.

В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.

Перпендикулярность прямой и плоскости - признак и условия перпендикулярности.

На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости , то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10 -11 классы.

При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.

Теорема.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.

В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Это условие можно переписать в следующем виде.

Пусть - направляющий вектор прямой a , а - нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось и : , где t – некоторое действительное число.

Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве , а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Докажите перпендикулярность прямой и плоскости .

Решение.

Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве , являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, - направляющий вектор прямой .

Коэффициенты при переменных x , y и z в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, - нормальный вектор плоскости .

Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Так как , то векторы и связаны соотношением , то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .

Пример.

Перпендикулярны ли прямая и плоскость .

Решение.

Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Направляющим вектором прямой является

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. ТЕОРЕМА: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым,лежащим в плоскости,то она перпендикулярна к этой плоскости. Дано: а ^ р, а ^q,р? a, q ? a, р?q=0. Доказать: а ^ a.

Слайд 13 из презентации «Условие перпендикулярности прямой и плоскости» . Размер архива с презентацией 415 КБ.

Геометрия 10 класс

краткое содержание других презентаций

«Геометрия «Параллельность прямой и плоскости»» - Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Свойства. Лемма – вспомогательная теорема. Расположение прямой и плоскости. Параллельность прямых, прямой и плоскости. Определение. Параллельность прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Параллельные прямые. Теорема. Прямая и плоскость имеют одну общую точку, то есть пересекаются. Одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости.

«Декартова система» - Определение декартовой системы. Рене Декарт. Прямоугольная система координат. Введение декартовых координат в пространстве. Понятие системы координат. Координаты точки. Декартова система координат. Координаты любой точки. Вопросы для заполнения. Координаты вектора.

«Равносторонние многоугольники» - Гексаэдр (Куб) Куб составлен из шести квадратов. Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Октаэдр Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Икосаэдр Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. Додекаэдр Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Тетраэдр гексаэдр октаэдр икосаэдр додекаэдр.

«Площадь поверхности конуса» - Длина дуги. Радиус основания конуса. Учебник. Как вычислить длину окружности. Тело вращения. Дано. Площадь развёртки. Как выразить величину угла. Измерьте центральный угол развёртки. Вычислите площадь. Конус. Модель конуса. Формула площади полной поверхности конуса. Вычисление площади боковой поверхности модели. Как вычислить длину дуги. Положительные числа. Решение. Задача. Площадь развёртки боковой поверхности конуса.

«Предмет стереометрии» - Сегодня на уроке. Философская школа. Наглядные представления. Планиметрия. Из истории. Евклид. Понятие науки стереометрии. Вселенная. Аксиомы стереометрии. Неопределяемые понятия. Теорема Пифагора. Пифагор. Пентаграмма. Указания. Основные понятия стереометрии. Точки. Египетские пирамиды. Стереометрия. Геометрия. Пространственные представления. Помните ли вы теорему Пифагора. Правильные многогранники.

««Правильные многогранники» 10 класс» - Грани многогранника. Ось симметрии. Цель изучения. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии. Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником. Правильный додекаэдр состоит из 12 правильных пятиугольников. Элементы симметрии правильных многогранников. Прогнозируемый результат. Центр О, ось а и плоскость.