Функциональный метод решения уравнений. Тема: "Показательная функция

Разделы: Математика

Класс: 11

• Систематизировать, обобщить, расширить знания, умения учащихся, связанные с применением функционально-графического метода решения уравнений
• Отработка навыков решения уравнений функционально-графическим методом.
• Формирование логического мышления, умения самостоятельно и нестандартно мыслить.
• Развивать коммуникативные навыки в процессе групповой работы.
• Осуществлять продуктивное взаимодействие в группе для достижения максимального общего результата.
• Отработка умений слушать товарища. Анализировать его ответ и задавать воросы.

Для проведения этого урока в классе организовались группы ребят, которые получила вспомнить определённый метод решения уравнений, подобрать 5-8 уравнений, решить их и подготовить презентацию.

Оборудование: Компьютер, проектор. Презентация .

В презентацию учителя были вставлены презентации ребят, но у них разный фон.

Ход урока

Сегодня на уроке мы вспомним функционально - графический метод решения уравнений, рассмотрим когда он применяется, какие трудности могут возникнуть при решении и будем выбирать методы решения уравнений.

Вспомним основные методы решения уравнений .(слайд № 2)

Первая группа разбирает графический метод.

Вторая группа рассказывает о методе мажорант.

Метод мажорант - метод нахождения ограниченности функции.

Мажорирование - нахождение точек ограничения функции. М - мажоранта.

Если имеем f(x) = g(x) и известно ОДЗ, и если

.№1 Решите уравнение:

,

х = 4 - решение уравнения.

№2 Решить уравнение

Решение: Оценим правую и левую части уравнения:

а) , так как , а ;

б) , так как .

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем верное числовое равенство:

Ответ: х=-2.

Третья группа объясняет использование теоремы об единственности корня.

Если одна из функций(F(x)) убывает, а другая (G(x))возрастает на некоторой области определения, то уравнение F(x)=G(x) имеет не более одного решения.

№1 Решить уравнение

Решение: область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции . Первая из них - убывающая (так как это - логарифмическая функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая - возрастающая (это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного уравнения.

Ответ: х=3.

Учитель напоминает. где ещё используется монотонность функции при решении уравнений.

А) - От уравнения вида h(f(x))=h(g(x)) переходим к уравнению вида f(x)=g(x)

При монотонности функции

№5 sin (4x+?/6) = sin 3x

НЕВЕРНО!(функция периодическая). И тут же проговариваем правильный ответ.

НЕВЕРНО!(четная степень) И тут же проговариваем правильный ответ:

Б) Метод использования функциональных уравнений.

Теорема. Если функция y = f(x) - возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения f(g(x)) = f(h(x)), то уравнения f(g(x)) = f(h(x)) и g(x)=f(x) равносильны.

№1 Решить уравнение:

Рассмотрим функциональное уравнение f(2x+1) = f(-x), где f(x) = f()

Найдите производную

Определите её знак.

Т.к. производная всегда положительная, то функция возрастающая на всей числовой прямой, то мы переходим к уравнению

Решите уравнение. Х 6 - |13 + 12х| 3 = 27соs х 2 - 27соs(13 + 12x).

1) уравнение приводится к виду

х6 - 27соs x2 = |13 + 12x|3 - 27соs(13 + 12x),

f(x2) = f(13 + 12x),

где f(t) = |t|3-27соst;

2)Функция f - четная и при t > 0 имеет следующую производную

f"(t)= поэтому f"(t)> 0 при всех

Следовательно, функция f возрастает на положительной полуоси, а значит, каждое свое значение она принимает ровно в двух симметричных относительно нуля точках Данное уравнение равносильно

следующей совокупности:

Ответ: -1, 13, -6+?/23.

Задания для решения на уроке. Ответ

Рефлексия.

1. Что нового узнали?

2. С каким методом лучше справляетесь?

Дом задание: Подобрать по 2 уравнения на каждый метод и их решить.

Функционально-графический метод решения неравенства f(x) < g(x). 1. Подбором найдем корень уравнения f(x)=g(x), используя свойства монотонных функций; 2. Построим схематически графики обеих функций, проходящие через точку с найденной абсциссой; 3. Выберем решение неравенства, соответствующее знаку неравенства; 4. Запишем ответ. :

Слайд 9 из презентации «Показательные уравнения и неравенства» . Размер архива с презентацией 174 КБ.

Алгебра 11 класс

краткое содержание других презентаций

«Уравнения третьей степени» - (1). Тарталья отказывается. 12 февраля Кардано повторяет свою просьбу. «Великое искусство». Х3 + рх + q = 0. Пример: х3 – 5 х2 + 8 х – 4 = 0 х3 – 2 х2 –3 х2 + 8х – 4 = 0 х2 (х – 2) – (3 х2 – 8х + 4) = 0 3 х2 – 8х + 4 = 0 х = 2 х = 2/3 х2 (х – 2) – (3 (х –2) (х – 2/3)) = 0 х2 (х – 2) – ((х – 2) (3х – 2)) = 0 (х – 2)(х2 – 3х + 2) = 0 х – 2 = 0 х2 – 3х + 2 = 0 х = 2 х = 2 х = 1 Ответ: х = 2; х = 1. Наша формула дает: Муниципальное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 24». Х3 + ах = b (1). Здесь р = 6 и q = -2. Первый пример:

«Применение определённого интеграла» - Гл. 4. Разработка факультатива по теме «Определенный интеграл». Определенный интеграл. §4. Свойства определенного интеграла. Гл. 2. Различные подходы теории интеграла в учебных пособиях для школьников. §1. Объем тела вращения. §6. Введение. Суммы Дарбу. §3. Механическая работа. Цель: Подходы к построению теории интеграла: Вводные замечания. §2. Методы интегрирования. §3. Заключение. Гл.3. Применение определенного интеграла. §1.

«Показательные уравнения и неравенства» - 2) Равносильно неравенству f(x) < g(x), 0<а<1. "Что значит решить задачу? Обоснование: 12). Сравните основание а с единицей: Если 0

Урок и презентация на тему:

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Ребята, нам осталось рассмотреть еще один метод решения уравнений – функционально-графический. Суть метода проста, и мы с вами им уже пользовались.

Пусть нам дано уравнение вида $f(x)=g(x)$. Мы строим два графика $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на одной координатной плоскости и отмечаем точки, в которых наши графики пересекаются. Абсцисса точки пересечения (координата по х) - это и есть решение нашего уравнения.

Так как метод называется функционально-графическим, то не всегда нужно строить графики функций. Можно пользоваться и свойствами функций. Например, вы видите явное решение уравнения в какой-то точке: если одна из функций строго возрастает, а другая строго убывает, то это и будет единственное решение уравнения. Свойства монотонности функций часто помогают при решении различных уравнений.

Вспомним еще один метод: если на промежутке Х, наибольшее значение любой из функций $y=f(x)$, $y=g(x)$ равно А, а соответственно наименьшее значение другой функции также равно А, то уравнение $f(x)=g(x)$ равносильно системе: $\begin {cases} f(x)=A, \\ g(x)=A. \end {cases}$

Пример.
Решить уравнение: $\sqrt{x+1}=|x-1|$.

Решение.
Построим графики функций, на одной координатной плоскости: $y=\sqrt{x}+1$ и $y=|x-1|$.

Как видно из рисунка наши графики пересекаются в двух точках с координатами: А(0;1) и B(4;3). Решением исходного уравнения будут абсциссы этих точек.

Ответ: $х=0$ и $х=4$.

Пример.
Решить уравнение: $x^7+3x-134=0$.

Решение.
Перейдем к равносильному уравнению: $x^7=134-3x$.
Можно заметить, что $х=2$ является решением данного уравнения. Давайте докажем, что это единственный корень.
Функция $y=x^7$ – возрастает на всей области определения.
Функция $y=134-3x$ – убывает на всей области определения.
Тогда графики этих функций либо вообще не пересекаются, либо пересекаются в одной точке, это точку мы уже нашли $х=2.$

Ответ: $х=2$.

Пример.
Решить уравнение: $\frac{8}{x}=\sqrt{x}$.

Решение.
Данное уравнение можно решить двумя способами.
1. Опять же заметим, что $х=4$ – корень уравнения. На отрезке $}